\[\huge
\]形如 \(ax \equiv c \pmod b\) 的方程被稱為線性同餘方程(congruence equation)。
方程 \(ax+by=c\) 與方程 \(ax \equiv c \pmod b\) 是等價的，有整數解的充要條件為 \(\gcd(a,b) \mid c\)。
根據定理 \(1\) ，方程 \(ax+by=c\)，我們可以先用擴充套件歐幾里得演算法求出一組 \(x_0,y_0\)，也就是
\[ax_0+by_0=\gcd(a,b)
\]兩邊同時除以 \(\gcd(a,b)\)，
\[\dfrac + \dfrac=1
\]乘以 \(c\) ，得到
\[\dfrac + \dfrac = c
\]然後就找到了方程的乙個解。
若 \(\gcd(a,b)=1\)，且 \(x_0\)、\(y_0\) 為方程 \(ax+by=c\) 的一組解，則該方程的任意解可表示為：
\[x=x_0+bt\\y=y_0-at
\]且對任意整數 \(t\) 都成立。由此即可以求出方程的所有解。
但在實際問題中，我們往往被要求求出乙個最小整數解，也就是乙個特殊解
\[x=(x \bmod t+t) \bmod t
\]其中 \(t=\dfrac\)。
**：
int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
int t = ex_gcd(b, a % b, x, y);
int tmp = x;
x = y;
y = tmp - a / b * y;
return t;
}bool lieu(int a, int b, int c, int &x, int &y)
本篇文章只介紹乘法逆元。/dk
不難得出，\(ax \equiv c \pmod b\) 等價於 \(a \times x + b \times y = c\) ，那麼顯然當 \(\gcd(a,b) \ne 1\) 時，上述方程無解。
也就是說，使得 \(a \times x + b \times y = c\) 有解的充要條件是 \(c \% \gcd(a, b) =0\) 。
一般情況下，上式能夠計算出無數組合法解，但是題目往往要求計算出最小的那組解。我們可以首先求出乙個特殊解 \(x_0\) ，那麼最小的解便是 \(x_0 \% b\)。
正確性？
首先，\(x\) 的通解是 \(x_0 + b \times t\) 嗎？
那麼，也就是說， \(a\) 關於 \(b\) 的逆元是乙個關於 \(m\) 同餘的，那麼根據最小整數原理，一定存在乙個最小的正整數，它是 \(a\) 關於 \(b\) 的逆元，而最小的肯定是在\((0 , b)\) 之間的，而且只有乙個，這就好解釋了。
當 \(b\) 是負數的時候，我們取 \(b\) 的絕對值就行了，當 \(x_0\) 是負數的時候，他模上 \(b\) 的結果仍然是負數（在計算機計算的結果上是這樣的，雖然定義的時候不是這樣的），這時候，我們仍然讓 \(x_0\) 對abs(b)取模，然後結果再加上abs(b)就行了，於是，我們不難寫出下面的**求解乙個數 \(a\) 對於另乙個數 \(b\) 的乘法逆元：
int cl(int a, int b)
又由費馬小定理可得 \(ax \equiv a^ \pmod b\) ，
所以 \(x \equiv a^ \pmod b\)。
**：
int qpow(int a, int b)
return ans;
}
求出 \(1,2,...,n\) 中每個數關於 \(p\) 的逆元。顯然有 \(1^ \equiv 1 \pmod p\)。
證明：對於 \(\forall p \in \mathbf\)，有 \(1 \times 1 \equiv 1 \pmod p\) 恆成立，故在 \(p\) 下 \(1\) 的逆元是 \(1\)。
其次對於遞迴情況 \(i^\)，令 \(k = \lfloor \frac \rfloor\)，\(j = p \bmod i\)，有 \(p = ki + j\)。
則有\[ki+j \equiv 0 \pmod p
\]兩邊同時乘 \(i^ \times j^\)
\[\begin
kj^+i^ &\equiv 0 &\pmod p\\
i^ &\equiv -kj^ &\pmod p
\end
\]代入 \(j = p \bmod i\)
\[p = ki + j
\]又有
\[i^ \equiv -\lfloor\cfrac\rfloor (p \bmod i)^ \pmod p
\]由於 \(p \bmod i < i\)，則在迭代中我們完全可以假設我們已經知道了所有的模 \(p\) 下的逆元 \(j^, j < i\)。
故我們就可以推出逆元，利用遞迴的形式，而使用迭代實現：
\[i^ \equiv \begin
1 , &i = 1, \\
-\lfloor\cfrac\rfloor (p \bmod i)^, &\text.
\end \pmod p
\]**：
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
另外，根據線性求逆元方法的式子
\[i^ \equiv -kj^ \pmod p
\]遞迴求解 \(j^\), 直到 \(j=1\) 返回 \(1\)。
其實還可以利用記憶化來避免多次遞迴導致的重複，但是這樣求 \(1,2,...,n\) 中所有數的逆元的時間複雜度仍是 \(o(n)\)。
線性同餘方程、逆元完結！！
筆記 數學數論（一）
由於作者也是邊學習邊記錄，所以必然會存在某些神筆錯誤，感謝指正。由於 oi 涉及到的數學數論知識實在太多，本內容也會分為幾篇文章共同呈上。過後這裡會新增完整筆記的索引 huge 如果存在乙個整數 k 使得 a kd 則稱 d 整除 a 記做 d mid a 稱 a 是 d 的倍數，如果 d 0 稱 ...
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