乙個揹包總容量為v，現在有n個物品，第i個 物品體積為weight[i]，價值為value[i]，現在往揹包裡面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？
例題：給定乙個數m，將m拆成不同的自然數的和的形式有多少種方案，這就是典型的01揹包問題，揹包容量為m，物品件數為k，這裡面的k是隱含條件，可以求出來，因為m最多由1+2+…+k得到，由此可以根據m求得物品件數的上限。
乙個揹包總容量為v，現在有n個物品，第i個 物品體積為weight[i]，價值為value[i]，每個物品都有無限多件，現在往揹包裡面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？
例題：假設現在有1元、2元、5元的紙幣很多張，現在需要20塊錢，你能給多少種找錢方案，這就可以認為是完全揹包問題，即揹包容量為20，物品體積分別為1、2、5。
給予不同面值的硬幣若干種種（每種硬幣個數無限多），如何用若干種硬幣組合為某種面額的錢，使硬幣的的個數最少？
在現實生活中，我們往往使用的是貪心演算法，比如找零時需要13元，我們先找10元，再找2元，再找1元。如果我們的零錢可用的有1、2、5、9、10。我們找零18元時，貪心演算法的策略是：10+5+2+1，四種，但是明明可以用兩個9元的啊。這種問題一般使用動態規劃來解決。
一、首先來看01揹包問題
用乙個陣列f[i][j]表示，在只有i個物品，容量為j的情況下揹包問題的最優解。第i個物品可以選擇放進揹包或者不放進揹包（這也就是0和1），假設放進揹包（前提是放得下），那麼f[i][j]=f[i－1][j-weight[i]+value[i]；如果不放進揹包，那麼f[i][j]=f[i－1][j]。
這就得出了狀態轉移方程：
f[i][j]=max(f[i－1][j],f[i-1][j-weight[i]+value[i])
二、完全揹包問題 和 硬幣找零問題
其實這個兩個問題非常相似，都是物品數目無限多，乙個是不超過某個重量值w求最大value，乙個是要獲得某個value，求最小重量(每個硬幣可以看成是重量為1的物品)。
（1）對於完全揹包問題狀態轉移方程：
f[ i ] [ j ] = max( f[i－1][j], f[ i ][ j- weight[i] ] + value[i] ) ，注意後面是f[i, j-weight[i]]，i 沒有減1
可以理解為：j為揹包可以容納的重量，有i種物品時，對於第i種物品，要麼取或者不取，至於取多少個我們並不關心。
（2）對於硬幣找零問題狀態轉移方程：
f[i][j]=min( f[i－1][ j ], f [i ] [ j - value[i] ] + 1) ，注意後面是f[i, j-value[i]]，i 沒有減1
可以理解為：j為需要找零多少元，有i種硬幣，找零時對於第i種硬幣，我們只考慮取或者不取，至於取多少個我們並不關心！
兩種邊界情況說明一下：
（1）f[0][j]=integer.maxvalue ，因為 對金額為 j 的錢找零，但是可以的硬幣面值種類為0，這顯然是無法做到的。其實這是乙個」未定義「的狀態。它之所以初始為integer.maxvalue
（2）f[i][0]=0，因為，對金額為0的錢找零，可用來找零的硬幣種類有 i 種，金額為0怎麼找啊，故設定為0。
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01揹包 有n件物品和乙個容量為v的揹包。每件物品只有一件 第i件物品的費用是c i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包使總價值最大。轉移方程 f i v max，可以優化只用一維陣列.如下 for int i 0 i w i j if record j c i v i record j reco...