德國著名數學家felix klein在他的erlangen綱領中提出：「幾何就是研究變換中的不變性的學科。」事實上，幾何變換在幾何的研究中占有重要地位。也是圖形學應用的基礎。下面我們就對常用的幾何變換進行介紹：
提到幾何變換，最先想到的就是圖形的平移和旋轉，圖形的平移和旋轉統稱為圖形的歐氏變換，乙個典型的歐氏變換如下圖：
可以看到，從左邊的正方形變成右邊的正方形分為兩步。一是將它沿著某方向進行平移。這一步可以用乙個向量t = [x
,y]t
來進行表示。t表示的平移的方向和長度。二是將它繞中心旋轉一定的角度
α 。這一步可以用乙個矩陣 r=
[cos
αsin
α−si
nαco
sα]
來表示。
由此，左邊正方形上一點x和右邊正方向上一點x′
滿足關係x′
=rx+
t 使用齊次座標，我們可以將r和t合成乙個3x3的矩陣h來簡化運算。 h=
[r0t
1]h又稱為單應性矩陣。歐氏變換在變換前後保證了線段長度的不變性。
事實上，對於任意的一種幾何變換，我們都可以找到乙個矩陣，使得變換前後的對應點x,
x′滿足x′
=hx 。
同樣的，對於變換前後的兩幅影象，我們可以通過取多對對應點的座標，得到它們的單應矩陣h，這在圖形學和計算機視覺的很多方面都用應用。由於x
′、x 都是齊次座標表示，由上一節我們知道（x,y,1)和（2x,2y,2)表示同乙個點。因此對單應矩陣乘乙個係數k不會改變變換關係。即對任意k∈
r,k≠
0 ，kh與h是等價的。對3x3的平面單應矩陣，它的自由度為8。
顯然，h是乙個可逆矩陣，對h求逆得到了h的逆變換，即x=
h−1x
′ 。
同時可以看到由於採用了齊次座標，對逆變換的求解也大大的簡化了。以歐氏變換為例。由於x′
=rx+
t ，有x=
r−1(
x′−t
)=r−
1x′−
r−1t
，由此得到的逆變換為r′
=r−1
,t′=
−r−1
t 。這就使得計算不是那麼的統一。
其他的幾種變換包括相似變換，仿射變換，射影變換。其中相似變換就是在歐氏變換的基礎上增加了對圖形的縮放。乙個典型的相似變換如下：
設縮放係數為s，則它的單應矩陣為h=
[sr0
t1]
顯然，相似變換失去了線段長度的不變性，但是還保留著線段間角度的不變性。歐氏變換可以看作它在s=1時的乙個特例。
對於剩下的兩種變換，我們將在後面一篇部落格進行介紹。
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