上一節講到仿射變換中無窮遠處的直線是固定的。而其上的點是不固定的。這很容易理解，對一條直線沿著它的切線方向平移，直線方程不變，但是上面的點的座標卻發生了變化。
然而，通過計算可以發現對於相似變換，無窮遠處有兩個共軛的理想點是固定的，即 i=
⎡⎣⎢⎢
1−i0
⎤⎦⎥⎥
,j=⎡
⎣⎢⎢1
−i0⎤
⎦⎥⎥
我們把這兩個點稱為虛圓點。對於相似變換h，以點i為例，有 i′
=hi=
⎡⎣⎢⎢
⎢ssc
osθs
ssin
θ0−s
ssin
θssc
osθ0
txty
1⎤⎦⎥
⎥⎥⎡⎣
⎢⎢1i
0⎤⎦⎥
⎥=se
−iθ⎡
⎣⎢⎢1
i0⎤⎦
⎥⎥=i
即相似變換不改變虛圓點座標。
事實上，對於乙個射影變換，如果它不使虛圓點發生改變，則它一定是乙個相似變換。
對任意乙個圓x2
1+x2
2+dx
1x3+
ex2x
3+fx
23=0
,它與l∞
的交點滿足x2
1+x2
2=0
考慮到齊次座標(0,0,0)沒有意義。方程在代數上的解為i = [1
,i,0
]t,j
=[1,
−i,0
]t
即任意圓與無窮遠處直線交於虛圓點。這也是它為什麼得名。曲線c
∗∞=i
jt+j
it是虛圓點的對偶二次曲線。
帶入i、j的座標得到 c∗
∞=⎡⎣
⎢⎢10
0010
000⎤
⎦⎥⎥
顯然，對偶二次曲線c∗
∞ 在相似變換下也是固定的，即 c∗
∞′=h
sc∗∞
hts=
c∗∞
定義了虛圓點的對偶二次曲線，我們就可以定義射影平面中的角度。
在歐氏幾何中，直線l=
(l1,
l2,l
3)t 和m=
(m1,
m2,m
3)t 之間的角度為 co
sθ=l
1m1+
l2m2
(l21
+l22
)(m2
1+m2
2)‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
√ 顯然，仿射變換後由此定義計算得到的l』，m』夾角可能發生變化。為在射影變換後依然能夠計算出l與m之間的角度，我們可以使用相似的定義 co
sθ=l
tc∗∞
m(lt
c∗∞l
)(mt
c∗∞m
)‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾√
驗證在射影變換下由此定義計算出的角度不變很容易，只需利用直線、對偶二次曲線、點在h變換前後座標的對應關係就好。舉例來說，對分子項有 lt
c∗∞m
=lth
−1hc
∗∞ht
h−tm
=l′t
c∗′m
′ 所以對於投影平面，如果我們能找到c∗
∞ ，那麼就可以通過上式計算兩點間的歐氏角度。
乙個自然的推論是，當且僅當lt
c∗∞m
=0時l與m垂直。
如圖為歐氏平面中的乙個三角形，由高中幾何知識可以知道d(
確定了c∗∞
,可以確定α、β ,從而得到線段間的比值。
綜上，確定了射影平面中的c∗
∞ ,我們就可以確定影象的度量資訊，從而消除射影變換的形變。事實上，這也是相機標定所做的事情，具體的實現方法在後面介紹。
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