對於乙個線性的方程組求解。
假設這個方程有 \(n\) 個，則時間複雜度為 \(o(n^3)\)。
有些題目的 \(dp\) 狀態有後效性，但是對於線性的方程，可以用高斯消元進行計算。
高斯消元法的思路是：通過消元運算，直到得到乙個只關於 \(x_1\) 的式子，只關於 \(x_1,x_2\) 的式子，只關於 \(x_1,x_2,x_3\) 的式子，然後回代計算即可。
如下：最初有乙個 \(n\) 元線性方程
\[\begin
a_x_1+a_x_2+...+a_x_n=b_1 \\
a_x_1+a_x_2+...+a_x_n=b_2 \\
\vdots \\
a_x_1+a_x_2+...+a_x_n=b_n \\
\end
\]將上述方程轉換為
\[\begin
a_x_1+a_x_2+...+a_x_n=b_1 \\
a_x_1+\fraca_}}x_2+...+\fraca_}}x_n=b_2 \\
\vdots \\
a_x_1+\fraca_}}x_2+...+\fraca_}}x_n=b_n \\
\end
\]最後通過減法消去後 \(n-1\) 個方程的 \(x_1\)：
\[\begin
a_x_1+a_x_2+...+a_x_n=b_1 \\
(\fraca_}}-a_)x_2+...+(\fraca_}}-a_)x_n=b_2-b_1 \\
\vdots \\
(\fraca_}}-a_)x_2+...+(\fraca_}}-a_)x_n=b_n-b_1 \\
\end
\]如此，對於剩下的 \(n-1\) 個方程又是乙個新的線性方程求解問題，繼續遞迴求解，最後回代。
若對於當前的子問題中，有一次計算中的 \(x_n\) 就已經消失了，那麼原問題中的這一未知數沒有唯一解。
若當前中存在乙個方程的各項係數都為 \(0\) ，且該條方程的常數項不為 \(0\) ，則一定無解。
當然，**具體實現的時候並不需要寫遞迴，直接用迴圈模擬即可。
實現中還有乙個問題，每次求解的 \(a_\) 是否會對答案產生影響？
可以發現，若 \(a_\) 太小，那麼會導致精度問題，所以每次需要選取主元素：最大的 \(a_\) 所有方程以它為基礎來進行消元。
#include #include #include using namespace std;
#define eps 1e-7
void read(int &n)
while (c >= '0' && c <= '9')
if (f) n = -n;
}const int maxn = 1e2 + 5;
double a[maxn][maxn], ans[maxn];
int n;
int main()
} ans[n] = a[n][n + 1];//回代求解
for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.2lf\n", ans[i]);
return 0;
}
在 \(n\) 維空間中，給出 \(n+1\) 個點，求出圓心的座標。
規定：設座標陣列為 \(a\)，由題意得：
\(\sum_^ (a_-x_j)^2=c\)
化簡得：
\(\sum_^(a_^2-a_^2-2x_j(a_-a_))=0\)
將常數項與未知數分離：
\(\sum_^2(a_-a_)x_j=\sum_^(a_^2-a_^2)\)
等價轉化為了 \(n\) 個線性方程，求解即可。
#include #include #include using namespace std;
#define eps 1e-7
const int maxn = 1e2 + 5;
double a[maxn][maxn], b[maxn][maxn], ans[maxn];
int n;
int main()
} for (int i = 1; i <= n; i++)
} ans[n] = a[n][n + 1];
for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.3lf ", ans[i]);
return 0;
}
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