最大序列片斷和

最大序列片斷和

定義1對於乙個序列a＝來說，其片斷和s[i] [j] = ∑ak | i <= k <= j。

那麼有了片斷和的定義，片斷和又怎麼求呢？先來看乙個基本的題目：

例題1

題目描述

給出乙個序列a＝，求它的最大片斷和。

輸入

輸入第一行為乙個整數n（1<=n<=1000000），第二行包含n個整數。這n個整數的和的絕對值不超過2^31。

輸出

乙個整數為序列a的最大片斷和。這個題目我想大家已經都不陌生了。解決的方法是用貪心。我還是**一下。

假設我們要的最大片斷和為s[i][j] (i < j )。那麼我們保證不會存在s[i] [k] < 0 ( k < j )。因為如果存在這樣的情況，那麼片斷和s[k + 1] [j] = s [i] [j] – s [i] [k] > s [i] [j]。和假設矛盾。

在下面的演算法中，如果存在了一段s[i] [k] < 0 ，我們肯定不會用這段，將其捨掉。下面的演算法中不會出現s [p] [k] > 0 （ p < i ）。所以演算法是正確的。

最大片斷和的求法（源程式）#include

int n , maxsegment;

int num [1000000];

main ()

cout << maxsegment;

system ( "pause" );

}然後我們看下乙個例題（pku2479）。

例題2

題目描述

給出乙個序列a＝，如下定義乙個函式d(a)：

t1 t2

d(a) = max

i=s1 j=s2

你的任務就是計算d(a )。

輸入

第一行是測試資料組數t(<=30)。然後是t組測試資料。每組資料報含乙個整數n(2<=n<=50000)。第二行包含n個整數a1, a2, ..., an. (|ai| <= 10000)。之後是一行空行。

輸出

每組資料乙個整數d(a)。各佔一行。

簡單的說，就是求兩段不相交的片斷和最大是多少。有兩種解決辦法：第一種仍然沿用貪心策略。第二種用動態規劃方法解決。

因為這兩個最大的片斷一定會和單個最大片斷有關。我們可以求出最大片斷並記錄最大片斷所在的位置。然後有兩部分：第一，求出除了這個最大片斷以外的剩餘部分中的最大片斷，兩者加和；第二，將這個最大片斷分成兩份（就是在最大片斷中找出一段部分和最小的部分，和求部分和類似）。貪心的效率為o（n）。

第二種方法是dp。用maxsegment1[i] 表示以子串行的最大片斷和。這個在上面的過程中記錄一下即可。

用maxsegment2 [i]表示以ai結尾的兩段子序列的最大和，那麼規劃方程為：

maxsegment2 [i] = max + ai | ( i > 2 , maxsegment2 [i] = a1 + a2 )}

這裡ai有兩種選擇，要麼獨立乙個片斷maxsegment1[i – 1] + ai，要麼與前面的ai-1一起組成乙個片斷(maxsegment2 [i – 1] + ai)。

時間複雜度為o（n）。

接下來你一定發現，這個dp方法的擴充套件性非常的好，它可以應用到多個片斷。假設我們要求乙個序列的m不相交片斷和的最大值，甚至可以用maxsegment[i] [j] 表示前j個數以aj結尾的最大i片斷和。然後對上面的遞推做適當的修改即可。時間複雜度為o（n×m）。

下面的題目就是這樣的乙個題，如果有時間不妨試一下：