by tanky woo
揹包之01揹包、完全揹包、多重揹包詳解
首先說下動態規劃，動態規劃這東西就和遞迴一樣，只能找區域性關係，若想全部列出來，是很難的，比如漢諾塔。你可以說先把除最後一層的其他所有層都移動到2，再把最後一層移動到3，最後再把其餘的從2移動到3，這是乙個直觀的關係，但是想列舉出來是很難的，也許當層數n=3時還可以模擬下，再大一些就不可能了，所以，諸如遞迴，動態規劃之類的，不能細想，只能找區域性關係。
1.漢諾塔
（引至杭電課件:dp最關鍵的就是狀態，在dp時用到的陣列時，也就是儲存的每個狀態的最優值，也就是記憶化搜尋）
要了解揹包，首先得清楚動態規劃：
動態規劃演算法可分解成從先到後的4個步驟：
1. 描述乙個最優解的結構；
2. 遞迴地定義最優解的值；
3. 以「自底向上」的方式計算最優解的值；
4. 從已計算的資訊中構建出最優解的路徑。
其中步驟1~3是動態規劃求解問題的基礎。如果題目只要求最優解的值，則步驟4可以省略。
揹包的基本模型就是給你乙個容量為v的揹包
在一定的限制條件下放進最多(最少?)價值的東西
當前狀態→ 以前狀態
看了dd大牛的《揹包九講》
(www.wutianqi.com
首先我們把三種情況放在一起來看：
01揹包（zeroonepack）
: 有n件物品和乙個容量為v的揹包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
完全揹包(completepack)
: 有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
多重揹包(multiplepack)
: 有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
比較三個題目，會發現不同點在於每種揹包的數量，01揹包是每種只有一件，完全揹包是每種無限件，而多重揹包是每種有限件。
先來分析01揹包：
01揹包（zeroonepack）: 有n件物品和乙個容量為v的揹包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：
把這個過程理解下：在前i件物品放進容量v的揹包時，
它有兩種情況：
第一種是第i件不放進去，這時所得價值為:f[i-1][v]
第二種是第i件放進去，這時所得價值為：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
（第二種是什麼意思？就是如果第i件放進去，那麼在容量v-c[i]裡就要放進前i-1件物品）
最後比較第一種與第二種所得價值的大小，哪種相對大，f[i][v]的值就是哪種。
（這是基礎，要理解！）
這裡是用二位陣列儲存的，可以把空間優化，用一位陣列儲存。
用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量為v的揹包裡得到的價值。把i從1~n(n件)迴圈後，最後f[v]表示所求最大值。
*這裡f[v]就相當於二位陣列的f[i][v]。那麼，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重點！思考）
首先要知道，我們是通過i從1到n的迴圈來依次表示前i件物品存入的狀態。即：for i=1..n
現在思考如何能在是f[v]表示當前狀態是容量為v的揹包所得價值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]標籤前一狀態的價值？
這就是關鍵！
123
for i=1..n測試資料：for v=v..0
f[v]
=max
;
10,3
3,44,5
5,6
這個圖表畫得很好，藉此來分析：
c[v]從物品i=1開始，迴圈到物品3，期間，每次逆序得到容量v在前i件物品時可以得到的最大值。（請在草稿紙上自己畫一畫）
這裡以一道題目來具體看看：
題目：**在這裡：
分析：
具體根據上面的解釋以及我給出的**分析。這題很基礎，看懂上面的知識應該就會做了。
完全揹包：
完全揹包(completepack): 有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
完全揹包按其思路仍然可以用乙個二維陣列來寫出：
同樣可以轉換成一維陣列來表示：
偽**如下:
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for i=1..n想必大家看出了和01揹包的區別，這裡的內迴圈是順序的，而01揹包是逆序的。for v=0..v
f[v]
=max
現在關鍵的是考慮：為何完全揹包可以這麼寫？
在次我們先來回憶下，01揹包逆序的原因？是為了是max中的兩項是前一狀態值，這就對了。
那麼這裡，我們順序寫，這裡的max中的兩項當然就是當前狀態的值了，為何？
因為每種揹包都是
無限的。當我們把i從1到n迴圈時，f[v]表示容量為v在前i種揹包時所得的價值，這裡我們要新增的不是前乙個揹包，而是當前揹包。所以我們要考慮的當然是當前狀態。
題目：**：
（分析**也是學習演算法的一種途徑，有時並不一定要看演算法分析，結合題目反而更容易理解。）
多重揹包
多重揹包(multiplepack): 有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
這題目和完全揹包問題很類似。基本的方程只需將完全揹包問題的方程略微一改即可，因為對於第i種物品有n[i]+1種策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i種物品恰放入乙個容量為v的揹包的最大權值，則有狀態轉移方程：
這裡同樣轉換為01揹包：
普通的轉換對於數量較多時，則可能會超時，可以轉換成二進位制（暫時不了解，所以先不講）
對於普通的。就是多了乙個中間的迴圈，把j=0~bag[i]，表示把第i中揹包從取0件列舉到取bag[i]件。
給出乙個例題：
題目：**：
因為限於個人的能力，我只能講出個大概，請大家具體還是好好看看dd大牛的《揹包九講》。
暫時講完後，隨著以後更深入的了解，我會把資料繼續完善，供大家一起學習**。(我的部落格：www.wutianqi.com
揹包之01揹包 完全揹包 多重揹包詳解
首先說下動態規劃，動態規劃這東西就和遞迴一樣，只能找區域性關係，若想全部列出來，是很難的，比如漢諾塔。你可以說先把除最後一層的其他所有層都移動到2，再把最後一層移動到3，最後再把其餘的從2移動到3，這是乙個直觀的關係，但是想列舉出來是很難的，也許當層數n 3時還可以模擬下，再大一些就不可能了，所以，...
01揹包，完全揹包，多重揹包詳解
揹包之01揹包 完全揹包 多重揹包詳解 ps 大家覺得寫得還過得去，就幫我把部落格頂一下，謝謝。首先說下動態規劃，動態規劃這東西就和遞迴一樣，只能找區域性關係，若想全部列出來，是很難的，比如漢諾塔。你可以說先把除最後一層的其他所有層都移動到2，再把最後一層移動到3，最後再把其餘的從2移動到3，這是乙...
01揹包入門
01揹包問題模型 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。這是最基礎的揹包問題，特點是 每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。用子問題定義狀態 即f i v 表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方...