# 原子範數
> 區別於$l_1$範數只能用來處理稀疏向量和核範數只能處理稀疏矩陣，原子範數通過選取不同的基向量，可以有處理不同的問題。
## 一、定義
### 1.1 原子範數
$$||x||_a = \inf \ $$
簡單的說，這是乙個由a中的向量構成的乙個凸包$conv(a)$通過整體的尺度變換使得$x$恰好落入$tconv(a)$中，把最後的尺度變換$t$作為$||x||_a$的值。
###1.2 對偶範數
$$||z||_a^* = \sup \limits_ \left\langle \right\rangle $$
顯然，$$\left\langle \right\rangle \le ||x||_a||z||_a^*$$
## 二、凸優化問題
###2.1 優化問題
$$\min \limits_x ||x - y||_2^2 + \tau ||x||$$
其中，$y=x^*+w,x^*$ 是真實值，$x$是估計值
###2.2 對偶問題
原問題等價於
$$\min \limits_x ||x - y||_2^2 + \tau ||u||_a,s.t. u=x$$
對應的lagrange函式為 $$l(x,u,z)= ||x-y||_2^2 +\tau ||u||_a +z^t(u-x)$$
那麼，lagrange對偶函式為 $$g(z)=\inf \limits_x l(x,u,z)= (||y||_2^2 - ||y-z||_2^2 ) + \inf \limits_x (\tau ||u||_a +z^tu)$$
所以，對偶問題為 $$ \max \limits_z (||y||_2^2 - ||y-z||_2^2 ), s.t. ||z||_a^* \le \tau $$
其中，$$y = \hat x + \hat z,\left\langle \right\rangle = \tau || \hat x ||_a $$
###2.3 均方誤差上限
$$e||\hat x - x^*||_2^2 \le \tau ||x^*||_a$$
## 三、線譜估計
給定原訊號的奈奎斯特抽樣結果為
$$x_m^*: = (}) = \sum \limits_^k }} ,m = 0, \ldots ,n - 1$$
其中，$f_l^=$ 為數字頻率。
$x_m^*$是下面這個集合中k個元素的線性組合。
$$a=\[1,e^,\ldots e^],f \in [0,1], \phi \in [0,1]\}$$
可以認為$a$是乙個無窮字典。
記$$a_=e^[1,e^,\ldots e^]$$
顯然，$$x=\sum \limits_c_k a_$$
另外，記
$$u=\sum \limits_c_k a_$$
那麼，對偶範數可以寫成
$$||v||_a^*=\sup \limits_ \left\langle }\right\rangle=\sup \limits_\sup \limits_ e^\sum \limits_^ v_l e^ = \sup \limits_ \left|\sum \limits_^ v_l z^l \right|$$
記$$v(f)=\sum \limits_^ v_l e^ $$
所以，$$||v||_a^* \le \tau \leftrightarrow \left|v(f)\right|^2 \le \tau^2, \forall f \in [0,1]$$
而且，有定理保證，
$$\left|v(f)\right|^2 \le \tau^2 \leftrightarrow \left\(q) = \cr
\left[ } & 1 \cr
} } \right] \ge 0 \cr} \right .$$
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