馬拉車和字典樹

馬拉車演算法：用於求解最長回文子串的問題。因為它能夠以o(n)的時間複雜度求解答案，因此十分的高效。

演算法思想：馬拉車演算法主要是利用已求解的回文子串內部具有對稱性，借由此來進行加速處理。

舉個例子：

1.字串：abbababa 最長回文子串：5（abbababa）

2.字串：abcbbabbc 最長回文子串：7（abcbbabbc）

3.字串：abccbaba 最長回文子串：6（abccbaba）

傳統方法是，遍歷每個字元，以該字元為中心向兩邊查詢。時間複雜度為o(n^2)，效率很差；

在此基礎上可以先對字串雜湊一下，然後用二分求解，可以達到o(nlogn)。

最後最優的求解此類問題的演算法就是我們的馬拉車演算法了，他達到了神奇的o(n)。

回文串分為奇回文和偶回文，而我們的馬拉車演算法進行了乙個騷操作，將所有回文子串都處理成了奇回文。我們在每個字元的前邊和後邊都插入乙個沒有出現過的字元，最後再在最前面插入乙個沒有出現過的字元（防止越界），就可以達到這個神奇的效果。

舉個例子：

字串：abbababa

變換之後：$#a#b#b#a#b#a#b#a#\0

回文子串：#a#, #a#b#a#b#a#

這樣變換後的字串中的回文子串就都變成了奇回文。

我們規定以s[i]為中心的回文子串的半徑為p[i]，即回文子串的長度為2 * p[i] - 1，如上邊#a#b#a#b#a#，回文半徑為6，長度為11，還可以得出原字串此時對應的回文子串長度為5，即p[i] - 1 = 6 - 1 = 5。

可以多畫幾個例子看看，這個是根據變換後字串的規律得到的。

那麼，p[i]應該如何計算呢。

我們計算的時候從左往右計算。由圖我們可知此時p[j](j = 2 * id - i)已經計算出來了。圖中表示現在(2 * id - mx, mx)區域內為乙個回文子串，因此我們可以得知p[i] = p[j] (i < mx)，然後再迴圈檢索一下以i為中心還能再擴大半徑不，就可以求得p[i]，話不多說，上**：

const int maxn = 2e6 + 7;
char s[maxn], a[maxn]; int p[maxn];
int manacher(char s, int len) 
a[l] = 0;
int mx = 0, id = 0, maxlen = -1;
for (int i = 1; i < l - 1; i++) 
return maxlen;
}

然我們來看看例題：

acwing：

演算法思想：利用空間換取時間。預處理建一棵樹，把內容都記錄下來，如下：

（標橙色的節點是「目標節點「，即根節點到這個目標節點的路徑上的所有字母構成了乙個單詞。）

字典樹就是一棵樹，樹邊記錄了一些字元，結點記錄了一些標記資訊。

這就是字典樹的概念。結合上面說的概念，上圖所示的字典樹包括的單詞分別為：

abcbac

bbcca

根據字典樹的概念，我們可以發現：字典樹的本質是把很多字串拆成單個字元的形式，以樹的方式儲存起來。所以我們說字典樹維護的是」字典「。那麼根據這個最基本的性質，我們可以由此延伸出字典樹的很多妙用。簡單總結起來大體如下：

字典樹的兩種基本操作為建樹和查詢。

儲存資料結構：

const int maxn = 2e5 + 7;
int trie[maxn][26], col[maxn], tot = 1;
char s[maxn];

其中，trie[i][j]表示乙個指向子節點的指標，col[i]表示乙個終止標記，tot記錄現有的結點個數

插入操作：

void insert(char*s) 
col[p] = 1
;}

查詢操作：

bool search(char*s) 
return col[p] == 1
;}

來看看例題：

馬拉車和字典樹

馬拉車演算法

馬拉車演算法

馬拉車演算法

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