Manacher（馬拉車） O n 回文子串

manacher

一、背景

2023年，manacher發明了manacher演算法（中文名：馬拉車演算法），是乙個可以在o(n)的複雜度中返回字串s中最長回文子串長度的演算法，十分巧妙。

讓我們舉個栗子，栗子：

1.字串：abbababa        最長回文子串：5（abbababa）

2.字串：abcbbabbc      最長回文子串：7（abcbbabbc）

3.字串：abccbaba        最長回文子串：6（abccbaba）

傳統方法是，遍歷每個字元，以該字元為中心向兩邊查詢。時間複雜度為o(n^2)，效率很差；

而這個神奇的manacher演算法將複雜度提公升到了o(n)。

來一起瞅一瞅它是如何工作的吧。

二、演算法過程分析

回文分為奇回文（ababa）和偶回文（abba），這裡比較難以處理，我們使用乙個小(sao)技(cao)巧(zuo)（很重要）。我們將字串首尾和每個字元間插入乙個字元（注意：這個自符在串中並未出現）例如：'#'.

栗子！栗子！

s='abbadcacda'先轉化成s_new='$#a#b#b#a#d#c#a#c#d#a#\0'（'$'與'\0'，是邊界，下面的**中可以看到）

這樣原串中的偶回文（abba）與奇回文（adcacda），變成了（#a#d#d#a#）與（#a#d#c#a#c#d#a#）兩個奇回文。

定義陣列p，用p[i]表示以i為中心的最長回文半徑。栗子在這裡：

那，p[i]該如何求呢？

很顯然，p[i]-1正好就是原字元中的最長回文串長度了。

讓我們一起找到正解。

請看下圖：

定義兩個變數mx和id。mx就是以id為中心的最長回文右邊界，也就是mx=id+p[id]，隨後我們需要mx做出它的最大貢獻。

假設我們在求p[i]（以i為中心的最長回文半徑），如果i

if(i

p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);

為什麼要用p[j]和mx-i取min來更新，什麼鬼？

淡定，淡定。我們想一下，p[j]（以j為中心的最長回文半徑）是已經知道了（因為是從前面掃過來的），若是p[j]>mx-i，我們是可以知道以j為中心，以mx的對稱點到j的距離為半徑形成的回文字串是肯定存在的，並且id的左邊直到mx的對稱點與id的右邊 直到mx是一一對應的，不難理解mx是i目前可以更新到的最大回文半徑；若p[j]取完min就是最大的回文半徑嗎？

顯然不是，接下來的暴力往後掃就好了（學oi的都有暴力傾向）。

三、**

#include#include

#include
#include
using
namespace
std;
char s[11000002];
char s_new[21000002];//
存新增字元後的字串 
int p[21000002];
int init()  
s_new[j]='
\0';//
處理邊界，防止越界（容易忘記） 
return j;//
返回s_new的長度 
}int manacher() 
max_len=max(max_len,p[i]-1
);     } 
return
max_len; } 
intmain()

完結撒花（複雜度不會證明呀，因為我是蒟蒻）

Manacher（馬拉車） O n 回文子串

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最長回文長度 manacher（馬拉車）

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