更新:25 mar 2016
對於週期函式（週期為\(2\pi\)）或定義在\([-\pi,\pi]\)上的函式\(f(x)\)，可以展開為*
\(\large f(x)=\dfrac+\sum\limits_^(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad n=0,1,2,…\)
則係數為
\(\large a_n=\frac\int_^f(x)\cdot\cos nx dx\)
\(\large b_n=\frac\int_^f(x)\cdot\sin nx dx\)
對於週期函式（週期為\(2l\)）或定義在\([-l,l]\)上的函式\(f(x)\)，
\(\large f(x)=\dfrac+\sum\limits_^\left(a_n\cos\fracx+b_n\sin\fracx\right)\)
則係數為
\(\large a_n=\frac\int_^f(x)\cdot\cos\fracxdx\)
\(\large b_n=\frac\int_^f(x)\cdot\sin\fracxdx\)
對於定義在\([0,l]\)上的函式\(f(x)\)，展成fourier級數，需要用到延拓的概念，此時可以選擇奇延拓（展成正弦函式）或偶延拓（展成余弦函式）
奇延拓（展成正弦函式）
\(\large f(x)=\sum\limits_^b_n\sin\fracx\)
\(\large b_n=\frac\int_^f(x)\cdot\sin\fracxdx\)
偶延拓（展成余弦函式）
\(\large f(x)=\dfrac+\sum\limits_^a_n\cos\fracx\)
\(\large a_n=\frac\int_^f(x)\cdot\cos\fracxdx\)
* 展開有條件（dirichlet條件），此處不詳細說明。對於一般數學物理方程基本適用。
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