更新：9 jan 2017
理想、完整約束下，系統的動力學普遍方程：
\[\frac\left(\frac\right) - \frac = q_k
\]\(k\)走遍所有的廣義座標，\(t\)為動能，\(q_k\)為廣義座標，\(q_k\)為廣義力。
理想大致指接觸、連線絕對光滑或絕對粗糙，完整指約束不顯含時間。更詳細的說明參看[分析力學]解題思路 - 虛功原理與達朗貝爾方程。
拉格朗日方程為標量方程，且只包含座標對時間的一階導數。
注：第一類拉格朗日方程即未使用廣義座標的拉格朗日方程，使用起來很不方便。
1.封閉體系（無外力）
\(q_k = 0\)，首先確定體系自由度，找廣義座標/獨立座標，求動能\(t(q,\dot q, t)\)表示式、拉格朗日方程中對動能的兩個偏導數。得到與自由度數目相同的微分方程。
2.理想非完整線性約束
將約束解除，用拉格朗日乘子加入廣義力一方參與方程。
定義拉格朗日量
\[l=t-v
\]理想、完整約束下，系統的動力學普遍方程：
\[\frac\left(\frac\right) - \frac = q_k
\]\(k\)走遍所有的廣義座標，\(q_k\)為廣義座標，\(q_k\)為非保守廣義力。
1.保守體系（有勢能）
即存在保守力\(\vec f=-\nabla v\)作為外力。仍然先確定自由度和廣義座標，求出動能、勢能的表示式得到拉格朗日量，求微分得到微分方程組。
勢能的定義隱含物體的超距作用，與狹義相對論矛盾，因此需要非相對論條件。狹義相對論條件下（運動接近光速）應使用場論。
非保守廣義力\(q_k = 0\)。
2.位力定理
\[\overline=2\overline
\]特別地, 若系統的勢能是位⽮座標的齊\(k\)次式, 則有
\[k\overline=2\overline
\]這裡平均值是對時間的平均。若動能、勢能不隨時間變化，則每個時刻成立。
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