哈夫曼樹與哈夫曼編碼

2018-03-02 15:03:37

編碼問題是電腦科學乃至ee中的乙個核心的問題，最基礎的編碼方式是採用等長的編碼，比如計算機中的字元的編碼就是採用等長的8位，即乙個位元組進行的編碼。

但是在實際生活中，每個字元出現的頻率是不同的，因此，如果我們採用不等長編碼，將出現頻率高的字元採用較短的編碼，對出現頻率低的字元採用較長的編碼，就可以實現更高效和節省的編碼。

一、哈夫曼樹

霍夫曼樹又稱最優二叉樹，是一種帶權路徑長度最短的二叉樹。所謂樹的帶權路徑長度，就是樹中所有的葉結點的權值乘上其到根結點的路徑長度（若根結點為0層，葉結點到根結點的路徑長度為葉結點的層數）。樹的路徑長度是從樹根到每一結點的路徑長度之和，記為wpl=（w1*l1+w2*l2+w3*l3+...+wn*ln），n個權值wi（i=1,2,...n）構成一棵有n個葉結點的二叉樹，相應的葉結點的路徑長度為li（i=1,2,...n）。可以證明霍夫曼樹的wpl是最小的。

2023年，霍夫曼和他在mit資訊理論的同學得選擇是完成學期報告還是期末考試。導師羅伯特·法諾出的學期報告題目是，查詢最有效的二進位制編碼。由於無法證明哪個已有編碼是最有效的，霍夫曼放棄對已有編碼的研究，轉向新的探索，最終發現了基於有序頻率二叉樹編碼的想法，並很快證明了這個方法是最有效的。霍夫曼使用自底向上的方法構建二叉樹，避免了次優演算法夏農-范諾編碼的最大弊端──自頂向下構建樹。

演算法流程：

假設有n個權值，則構造出的哈夫曼樹有n個葉子結點。 n個權值分別設為 w1、w2、…、wn，則哈夫曼樹的構造規則為：

(1) 將w1、w2、…，wn看成是有n 棵樹的森林(每棵樹僅有乙個結點)；

(2) 在森林中選出兩個根結點的權值最小的樹合併，作為一棵新樹的左、右子樹，且新樹的根結點權值為其左、右子樹根結點權值之和；

(3)從森林中刪除選取的兩棵樹，並將新樹加入森林；

(4)重複(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵樹為止，該樹即為所求得的哈夫曼樹。

typedef struct treenode *huffmantree;
struct treenode
huffmantree huffman( minheap h )
t = deletemin(h);
return t;
}

二、哈夫曼編碼問題：給定一段字串，如何對字元進行編碼，可以使得該字串的編碼儲存空間最少？

【例】假設有一段文字，包含58 個字元，並由以下7 個字元構：a ，e ，i， s ，t ，空格（sp），換行（nl）；這7個字元出現的次數不同。如何對這7個字元進行編碼，使得總編碼空間最少？

【分析】

（1）用等長ascii 編碼：58 ×8 = 464 位；

（2）用等長3 位編碼：58 ×3 = 174 位；

（3）不等長編碼：出現頻率高的字元用的編碼短些，出現頻率低的字元則可以用較長的編碼進行表示。

採用不定長編碼編碼最本初的問題就是如何避免二義性，在解釋一段編碼的時候如果有多於一種的解釋，顯然這種編碼就是不可靠的。

經過證明只要任何字元的編碼都不是另一字元編碼的字首，就可以避免二義性。

顯然的是，只要字元出現在葉子結點就不能是另乙個編碼的字首碼，並且當前的編碼問題本質上就是構造哈夫曼樹。

哈夫曼樹與哈夫曼編碼

哈夫曼樹與哈夫曼編碼

哈夫曼樹與哈夫曼編碼

哈夫曼樹與哈夫曼編碼

相關推薦