微分處理的是變化率。積分做的是把許許多多微小的增量加起來求和。乍一看，微分與積分毫無關係，其實它們密切相關。
我們先畫乙個函式\(f(t)\)的圖，如圖1所示。
積分的中心問題是計算函式\(f(t)\)曲線下面的面積。為了使這個問題顯得更清楚，我們考慮一段函式，如\(t=a\)和\(t=b\)之間的函式，選取的自變數這兩個值稱為積分限。我們要計算圖2中陰影部分的面積。
要計算這個面積，我們把陰影部分分成很多很多纖薄的矩形（如圖3），把這些小矩形的面積加起來，就是我們要求的面積。
當然，這樣得到的是近似結果，但是，當矩形的寬度趨於0，我們將得到準確結果。下面說一下計算步驟。第一步，把\(t=a\)和\(t=b\)之間的區域分成\(n\)個次區域，每個次區域的寬度為\(\delta t\)。對於某個\(t\)處的小矩形，寬為\(\delta t\)，高為此處的函式值\(f(t)\)，於是可得此處小矩形的面積為
\[\delta a =f(t)\delta t
\]把所有的這些小矩形的面積加起來，就得到要求的陰影部分面積的近似值，
\[a =\sum_i f(t_i)\delta t
\]其中的大寫希臘字母\(\sigma\)表示求和，即把一系列用\(i\)標記的值加起來。比如\(n=3\)，就有
\[a =\sum_i f(t_i)\delta t=f(t_1)\delta t+f(t_2)\delta t+f(t_3)\delta t
\]這裡\(t_i\)表示第\(i\)個小矩形在\(t\)軸上的位置。
\(\delta t\)趨於0，小矩形數目\(n\)趨於無窮，求出此時小矩形面積和的極限，此即為要求的面積的準確值，也即是\(f(t)\)的定積分的定義，寫為下式：
\[a =\lim_\sum_i f(t_i)\delta t=\int_a^b f(t)dt
\]積分符號\(\int\)取代了求和符號，\(dt\)取代了\(\delta t\)，積分符號裡面的函式\(f(t)\)稱為被積函式。
把上式中的\(b\)，換成\(t\)，得到這樣乙個積分，
\[\int_a^t f(t)dt
\]把\(t\)看成乙個變數，上式這個積分就是變數\(t\)函式（注意不是\(t\)的函式）：
\[f(t)=\int_a^t f(t)dt
\]由乙個給定的函式\(f(t)\)，定義出乙個新的函式\(f(t)\)。前面的\(a\)也是可以變的，這裡我們不考慮這種情況。這個新的函式\(f(t)\)稱為\(f(t)\)的不定積分。稱為不定積分，因為我們不是從乙個固定值積分到另乙個固定值，而是積分到另乙個變數。對於不定積分，我們通常不寫上下限，寫為如下形式：
\beginf(t)=\int f(t)dt\label\end
微分和積分之間有深刻聯絡，如果\(f(t)=\int f(t)dt\)，則有
\[f(t)=\frac
\]這個聯絡就叫做微積分基本定理，下面我們說明一下這個結果的由來。變數\(t\)有個小的增量，從\(t\)變到\(t+\delta t\)，於是有個新的積分，
\[f(t+\delta t)=\int_a^ f(t)dt
\]即在圖3陰影部分\(t=t\)處新加了一塊寬為\(\delta t\)矩形，於是差\(f(t+\delta t)-f(t)\)即為多出來的這塊小矩形的面積，
\[f(t+\delta t)-f(t)=f(t)\delta t
\]兩邊除以\(\delta t\)，
\[\frac=f(t)
\]取極限\(\delta t \rightarrow 0\)，有：
\[\lim_\frac=\frac=f(t)
\]換一下變數的符號，則有
\[\frac=f(t)
\]這說明，積分和微分是逆運算，積分的導數即原被積函式。
知道\(f(t)\)的導數是\(f(t)\)就能完全確定\(f(t)\)嗎？還不能完全確定，因為\(f(t)\)加上乙個常數不改變它的導數。給定乙個函式\(f(t)\)，它的不定積分的函式形式是不定的，如果\(f(t)\)是\(f(t)\)的不定積分，\(f(t)\)加上任意常數之後，\(f(t)+c\)也是\(f(t)\)的不定積分。
下面我們說明一下微積分基本定理的應用。比如我們計算函式\(f(t)=t^n\)的積分，
\[f(t)=\int f(t)dt
\]根據微積分基本定理，有
\[f(t)=\frac\]即
\[t^n=\frac
\]現在的任務就是找到乙個函式\(f(t)\)，它的導數是\(t^n\)，這不是難事。
我們在上一章就已經知道，
\[\frac=mt^
\]令\(m=n+1\)，則有
\[\frac)}=(n+1)t^n
\]兩邊除以\(n+1\)，有
\[\frac/n+1)}=t^n
\]因此，\(t^n\)是\(\frac}\)的導數，所以，
\[f(t)=\int t^ndt=\frac}
\]再加上任意的常數，就得到\(t^n\)的不定積分，
\[\int t^ndt=\frac}+c
\]積分常數\(c\)需要其他的條件來確定。
出現這個任意的常數是因為積分的乙個積分限沒有確定。如果我們選定另乙個積分限，即前述的\(a\)，由\(a\)就可以確定常數\(c\)。考慮積分
\[\int_a^tf(t)dt
\]當兩個積分限為同一點，即 \(t=a\)，積分必為0，由此可確定積分常數\(c\)。
一般情形下的微積分基本定理寫為如下形式：
\begin\int_a^b f(t)dt=f(t)\big |_a^b=f(b)-f(a)\label\end
另外乙個表述方式是
\begin\int \fracdt=f(t)+c\label\end
即對函式的導數積分得到原來的函式（加上乙個任意常數）。
以下是幾個有用的積分公式：
\[\int c dt=ct+c'$$ （注：原文漏掉第二個常數$c'$）
$$\int cf(t)dt=c \int f(t)dt\]
\[\int t dt=\frac+c
\]\[\int t^2 dt=\frac+c
\]\[\int t^ndt=\frac}+c
\]\[\int \sin t dt =-\cos t +c
\]\[\int \cos t dt =\sin t +c
\]\[\int e^t dt = e^t +c
\]\[\int \frac = \ln t +c$$ （注：原文漏掉常數$c$）
$$\int [f(t) \pm g(t)]dt = \int f(t)dt \pm \int g(t) dt \]
練習1：求下列函式的不定積分：$$f(t)=t^4$$ $$f(t)=\cos t$$ $$f(t)=t^2-a$$
練習2：取積分限分別為\(t=0\)和\(t=t\)，應用微積分基本定理重新計算練習1中的積分
練習3：把練習1中的函式視為乙個粒子的加速度的表示式，積分一次，得到粒子的速度，再積分一次，得到粒子的軌跡。wom我們取\(t\)為積分限，把函式的啞變數改為\(t'\)，將函式從\(t'0\)積分到\(t'=t\)，$$v(t)=\int_0^t t'^4 dt'$$ $$v(t)=\int_0^t \cos t' dt'$$ $$v(t)=\int_0^t (t'^2-a) dt'$$
計算積分可以查表，或者用數學軟體\(mathematica\)。如果不得不手算，有個古老的技巧，非常有用，這就是分部積分。我們曾在上一章講過兩個函式的積的導數：
\[\frac=f(x)\frac+g(x)\frac
\]對上式兩邊進行積分，從\(x=a\)積到\(x=b\)，
\[\int \fracdx=\int f(x)\frac dx + \int g(x)\frac dx
\]上式的左邊比較容易，函式導數的積分是函式本身，即上式的左邊為
\[f(b)g(b)-f(a)g(a)
\]常寫為如下形式：
\[f(x)g(x)\vert_a^b
\]現在把右邊其中一項移到左邊，
\beginf(x)g(x)|_a^b-\int f(x)\frac dx=\int g(x)\frac dx\label\end
現在考慮計算乙個積分，被積函式恰好是乙個函式\(f(x)\)與另外乙個函式\(g(x)\)的導數的積，即方程(\ref)右邊的形式，如果直接積分沒辦法算，可以轉換成方程(\ref)左邊的形式，如果運氣好，左邊的積分\(\int f(x)\frac dx\)我們會算，那麼方程(\ref)右邊的積分也就算出來了。
下面我們舉個例子。比如計算如下積分：
\[\int_0^x\cos x dx
\]注意到
\[\cos x = \frac$$，於是要求的積分變成
$$\int_0^x \frac dx\]
根據方程(\ref)，上式結果為：
\begin\notag x \sin x \vert_0^-\int_0^\frac\sin x dx\end
也即\begin\notag x\sin x|_0-\int_0\sin x dx\end
\(\int\_0^\sin x dx\)我們會算，那麼剩下的事情比較容易了，請自己完成。
練習4：完成積分\(\int_0^x\cos x dx\)的計算
你可能會問，分部積分這個技巧很常用嗎？答案是：很常用，但不是每次都好用，看運氣了。
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