「老先生，你在火車頭下找什麼？」
萊尼超愛大個頭蒸汽機車，經常和喬治去火車場看火車。
今天，他們發現一位老先生好像在找什麼東西。
老先生問喬治：「拉火車的馬在**？」
「火車跑不需要馬，我來告訴你火車怎麼跑的，你看這裡，」喬治說著，指著火車頭上乙個地方，「那裡是火箱，煤炭在其中燃燒，放出化學能，緊挨著火箱是鍋爐，熱將鍋爐裡的水加熱，產生蒸汽。蒸汽壓推動火箱裡的活塞，即對活塞做功。活塞又推動這些杆，這些杆帶動火車輪子轉起來。」老先生與喬治握了握手，帶著理解的微笑離開了。
萊尼一直站在邊上聽喬治講解火車。萊尼帶著崇拜，對喬治說：「喬治，你講得真好，我都懂了，火箱，鍋爐，活塞。只是有乙個點我還沒懂。」
「萊尼，還有什麼不懂？」
「馬在**？」
大家都學過，能量有多種形式，如動能、勢能、熱能、化學能、核能、……，並且知道，能量的總量是守恆的。但是經典物理研究質點運動時候只有兩種能量形式：動能和勢能。匯出能量守恆的最佳方法是直接跳到正式的數學公式，再後退一步，看看我們會得到什麼。
最基礎的原理我們可稱之為勢能原理，所有的力都可由勢能函式\(v(\\)\)匯出，如前面的章節一樣，\(\\\)代表體系\(n\)個質點的\(3n\)個座標的集合，即構型空間。為了更清晰地展示勢能原理，我們這裡考慮最簡單的情形，沿\(x\)軸運動的單個質點，所受外力為\(f(x)\)。根據勢能原理，質點所受的力與勢能\(v(x)\)的導數有關：
\begin
f(x)=-\frac
\label
\end
在一維情形下，勢能原理其實就是勢能的定義。對方程(\ref)兩邊積分，就可得到勢能：
\begin
v(x)=-\int f(x)dx
\label
\end
我們可以這樣理解方程(\ref)：力總是試圖將質點推往勢能更低的地方（注意方程中的負號）。另外，\(v(\)\)越陡，力越大。總結為一句廣告語：力推你下山（force pushes you down the hill）。
勢能本身是不守恆的。隨著質點的運動，\(v(\)\)要發生變化。守恆的量是勢能與動能的總和。粗略地講，隨著質點滾下山（即質點向勢能低處運動），質點速度越來越大。如果質點向山上滾，質點速度愈來愈小。有某種東西是守恆的。
動能\(t\)用速度\(v\)和質量\(m\)來定義，具體定義為：
\[t =\fracmv^2
\]質點的總能量\(e\)為動能與勢能的和：
\[e =\fracmv^2 + v(x)
\]隨著質點沿\(x\)軸運動，兩種形式的能量都發生變化，但是變化的方式是保持二者之和不變。下面我們來證明這一點。如果總能量\(e\)對時間的導數為零，則就證明總能量不隨時間變化。
我們先計算動能的時間變化率。動能裡，質量不變，速度的平方\(v^2\)會變化，\(v^2\)對時間的導數為：
\begin\frac=2v\frac=2v\dot
\label
\end
練習1證明方程(\ref)
於是，動能對時間的導數為
\[\dot=mv\dot=mva
\]在上式中，速度對時間的導數代換為加速度。
下一步，我們計算勢能的時間變化率。這裡要注意到的關鍵點是，勢能\(v(x)\)會隨時間變化是因為\(x\)會隨時間變化。勢能對時間求導，得：
\[\frac=\frac\frac
\]將\(\frac\)代換為速度\(v\)，有：
\[\frac=\fracv
\]（注意不要把\(v\)和\(v\)弄混。）
現在就可以計算總能量的時間變化率了：
\[\dot=\dot+\dot=mva+\fracv
\]兩項都有\(v\)，提取公因式，有：
\[\dot=v\left (mva+\frac\right )
\]注意看括號裡邊，勢能與力有關係。由方程(\ref)，有：
\[\dot=v\left (mva-f(x)\right )
\]由牛頓第二定律，\(f=ma\)，上式小括號中的項正好抵消，則\(\dot=0\)，我們也就證明了能量守恆。
我們討論多維情況之前，我們還需要討論一點，動量為什麼不守恆？在前面的章節裡，我們證明過，對於孤立系統，牛頓第三定律意味著動量守恆。答案是，我們漏掉了系統裡的一些事情，即對做一維運動的質點施加力的物體。比如，如果要研究的問題是引力場中下落的質點，引力是地球施加的。當質點下降時，它的動量是變化的，但是這一變化為地球運動微小變化所彌補。即把下落的物體和地球看成乙個系統，動量還是守恆的。
力的分量是勢能的導數，但這不是力的定義。不從勢能的導數來想象力學定律可能更自然些，但是自然並不運用這樣的非保守力。
讓我們思考問題比以前更抽象一點。構型空間（也即位置空間）的座標稱為\(x_i\)。這裡的下標\(i\)不是標記質點的，也不是標記空間方向的，而是涵蓋這一切。對於\(n\)個質點組成的系統，\(i\)有\(3n\)個值。我們先不管這怎麼來的，只考慮\(i\)標記的乙個抽象座標系。
現在寫下運動方程：
\begin
m\_i\ddot\_i=f\_i(\)
\label
\end
每個座標都對應乙個質量$m_i$和乙個力的分量$f_i$。力的每個分量都依賴於所有位置$\\$。
在上一節的一維情況，力是勢能的負導數，見方程(\ref)。這是勢能的定義，但不是力要滿足的特殊條件。對於高維情況，事情更複雜。一般情況下，不是所有的力\(f_i(\\)\)都是某個函式的\(v(\\)\)的導數。如果我們認為力的分量都可以描述為乙個勢能函式的（偏）導數，這會是乙個全新的原理。
這個原理還真不是隨便猜想的。這是物理學裡最重要的原理之一的數學表示式：
對於任何系統，存在乙個函式
\(v(\\)\)，與力滿足如下關係：
\begin
f_i(\)=-\frac)}
\label
\end
方程(\ref)表示什麼自然定律？你可能已經猜到，能量守恆。我們稍候予以說明，現在我們說明一下方程(\ref)表達的的物理影象。
想象一下，函式\(v(\\)\)表示地形圖，表示各點的高度。首先，方程(\ref)中的負號表示力指向山下的方向，並且表示，越陡的地方力越大。比如，在等高線圖上，沿著等高線沒有力。力向量與等高線垂直。
現在，我們開始匯出能量守恆。把方程(\ref)帶入運動方程方程(\ref)，有：
\begin
m\_i\ddot\_i=-\frac)}
\label
\end
方程(\ref)兩邊都乘以相應的速度$\dot\_i$，並對所有分量求和：
\begin
\sum\_i m\_i\dot\_i\ddot\_i=-\sum\_i \dot\_i\frac)}
\label
\end
\[t=\frac\sum_i m_i\dot
\]現在我們看看方程(\ref)的兩邊分別是什麼。先看左邊：
\[\sum_i m_i\dot\_i\ddot\_i=\frac
\]再看右邊：
\[-\sum_i \dot\_i\frac)}=-\frac
\]因此方程(\ref)可寫為：
\begin\frac+\frac=0
\label
\end
與一維情況一模一樣，方程(\ref)表達的意思是，總能量對時間的導數為0，即能量守恆。
為了形象化地理解方程(\ref)的含義，我們想象乙個球在一片山地無摩擦滾動。球向低處滾動時，速度增大，球向高處滾動時，速度減小。方程(\ref)告訴我們，球滾動過程中，動能和勢能的總和保持不變。
你可能納悶，自然界的力為什麼總是單個函式的梯度（導數）？下一章，我們將從最小作用量原理，重新把經典力學總結為新的理論體系，這一新的理論體系的起點就是存在這樣的勢能函式。你又會問，為什麼有個最低作用量原理？答案可追溯到量子力學和量子場論裡力的起源，這些內容我們還談不到。為什麼用到量子場論？我們必須在某處放棄回答這樣的問題，就接受好了。當然，我們也可以一直追尋下去。
練習2：考慮做二維運動的質點，兩個座標分別為\(x\)和\(y\)，質點的質量為\(m\)，勢能函式為\(v=\frack(x^2+y^2)\)。請寫出運動方程。證明存在圓形軌道，並且各圓形軌道的週期都相同。證明能量守恆。
練習3：重新考慮練習2，但勢能函式為\(v=\frac\)，問還是否可能有圓形軌道？如果存在，這些圓形軌道的週期相同嗎？總能量守恆嗎？
在討論最小作用量原理之前，我想列舉一些物理中經常討論的能量，並評述一下它們如何適用於能量守恆的物理影象。常見的能量有：
一些能量形式（不是全部）之間的區別有點過時了。機械能常常指巨集觀物體的動能和勢能，如行星和塔吊吊起的重物。機械能也常指引力勢能。
熱能藏身於氣體或分子集合體裡，也包括動能和勢能，與機械能的差別是，熱能涉及很多很多質點混沌運動，我們甚至無法細緻刻畫這些運動。化學能也很特別，儲存於化學鍵中，是構成分子的的粒子的動能和勢能之和。化學能更難以理解，因為需要用到量子力學，歸根結底，化學能也是粒子的動能和勢能。原子能或核能，可與化學能類似理解。
靜電能是一種勢能，與帶電粒子之間的排斥力和吸引力有關。事實上，除了引力勢能，靜電能是日常經典世界最主要的勢能。靜電能是原子與分子裡帶電粒子之間的勢能。
磁能有點複雜，是磁極之間作用力對應的勢能。複雜之處在於磁體和帶電粒子之間的作用力。帶電粒子所受到的磁力與速度有關。我們後面還會討論這個問題。
電磁輻射裡也蘊藏著能量，這種能量形式多樣，如太陽發的熱、無線電波裡的能量、雷射，等。廣義來講，輻射能也是動能和勢能之和，但不是質點或粒子的能量，而是場的能量。本書不討論電磁能。
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