求最小生成樹 Kruskal演算法和Prim演算法

給定乙個帶權值的無向圖，要求權值之和最小的生成樹，常用的演算法有kruskal演算法和prim演算法。這兩個演算法其實都是貪心思想的使用，但又能求出最優解。（**借鑑

一.kruskal演算法

kruskal演算法的基本思想：先將所有邊按權值從小到大排序，然後按順序選取每條邊，假如一條邊的兩個端點不在同乙個集合中，就將這兩個端點合併到同乙個集合中；假如兩個端點在同乙個集合中，說明這兩個端點已經連通了，就將當前這條邊捨棄掉；當所有頂點都在同乙個集合時，說明最小生成樹已經形成。（寫**的時候會將所有邊遍歷一遍）

來看乙個例子：

步驟：（1）先根據權值把邊排序：

ad 5

ce 5

df 6

ab 7

be 7

bc 8

ef 8

bd 9

eg 9

fg 11

（2）選擇ad這條邊，將a、d加到同乙個集合1中

選擇ce這條邊，將c、e加到同乙個集合2中（不同於ad的集合）

選擇df這條邊，由於d已經在集合1中，因此將f加入到集合1中，集合變為a、d、f

選擇ab這條邊，同理，集合1變為a、b、d、f

選擇be這條邊，由於b在集合1中，e在集合2中，因此將兩個集合合併，形成乙個新的集合abcdef

由於e、f已經在同一集合中，捨棄掉bc這條邊；同理捨棄掉ef、bd

選擇eg這條邊，此時所有元素都已經在同一集合中，最小生成樹形成

象徵性地捨棄掉fg這條邊

實現**如下：

#include #include 
#define maxsize 20
using
namespace
std;
struct
edge; 
struct
graph;
void creategraph(graph *g) 
g->ver[i] = '\0'
;    vertexnum = strlen(g->ver);
cout 
<< "
輸入相應的鄰接矩陣
"<
for (int i = 0; i < vertexnum; i++) 
}}void
printgraph(graph g) 
cout 
<
cout 
<< "
圖的鄰接矩陣為:
"<
for (int i = 0; i < vertexnum; i++) 
cout 
<
}}int
getvernum(graph g) 
intgetedgenum(graph g) 
}    
return
res;
}edge *createedges(graph g) }}
for (int i = 0; i < edgenum - 1; i++) 
}p[i] =minweightedge;
}returnp;}
void
kruskal(graph g) 
for (int i = 0; i < vertexnum - 1; i++) 
else
if (index[p[j].begin] == -1 && index[p[j].end] >= 0
)                     }
}else
if (index[p[j].begin] >= 0 && index[p[j].end] == -1
)                     }
}else}}
break
;            }}}
cout 
<< "
mst的邊為:
"<
for (int i = 0; i < vertexnum - 1; i++) 
cout 
<< "
mst的權值為:
"<< weightsum <
}

二.prim演算法（**還沒理解）

prim演算法的基本思想：設定兩個存放頂點的集合，第乙個集合初始化為空，第二個集合初始化為乙個包含所有頂點的集合。首先把圖中的任意乙個頂點a放進第乙個集合，然後在第二個集合中找到乙個頂點b，使b到第乙個集合中的任意一點的權值最小，然後把b從第二個集合移到第乙個集合。接著在第二個集合中找到頂點c，使c到a或b的權值比到第二個集合中的其他任何頂點到a或b的權值都要小，然後把c從第二個集合移到第乙個集合中。以此類推，當第二個集合中的頂點全部移到第乙個集合時，最小生成樹產生。

以上面的圖再次作為例子：

設第乙個集合為v，第二個集合為u。

v=, u=

（1）a連線了兩個頂點，b和d，ab權值為7，ad權值為5，選擇權值小的一條邊和相應的頂點d，將d加入集合v中。v=, u=

（2）觀察包含v中的元素a和d的邊，ab權值為7，bd權值為9，de權值為15，df權值為6，將f加入v中。v=, u=

（3）依次將b(ab)、e(be)、c(ce)、g(eg)加入到集合v中。

（4）最小生成樹的邊包括：ad df ab be ce eg，problem solved

實現**如下：

#include #include 
#include 
using
namespace
std;
#define maxsize 20
struct
graph;
void creategraph(graph *g) 
g->ver[i] = '\0'
;    vertexnum = strlen(g->ver);
cout 
<< "
輸入相應的鄰接矩陣
"<
for (int i = 0; i < vertexnum; i++) 
}}void
printgraph(graph g) 
cout 
<
cout 
<< "
圖的鄰接矩陣為:
"<
for (int i = 0; i < vertexnum; i++) 
cout 
<
}}int
getvernum(graph g) 
//將不鄰接的頂點之間的權值設為
void setweight(graph *g) }}
}void prim(graph g, int *parent) 
used[
0] = 1
;     
for (int i = 0; i < vertexnum - 1; i++)  
}parent[j] =closest[j];
used[j] = 1
;         
for (int k = 0; k < vertexnum; k++) }}
}void printmst(graph g, int *parent) 
cout 
<< "
mst的權值為
"<< weight <
}int
main()

三.kruskal演算法和prim演算法的適用情況

kruskal演算法適用於邊稀疏的情況（要進行排序），prim演算法適用於邊稠密的情況。

求最小生成樹 Kruskal演算法和Prim演算法

Kruskal演算法求最小生成樹

kruskal演算法求最小生成樹

kruskal演算法求最小生成樹

求最小生成樹 Kruskal演算法和Prim演算法

Kruskal演算法求最小生成樹

kruskal演算法求最小生成樹

kruskal演算法求最小生成樹

相關推薦