設函式$f(x)=ax^2+(2b+1)x-a-2$($a,b\in\mathcal r$，$a\neq 0$)．
(1) 若$a=-2$，求函式$y=|f(x)|$在$[0,1]$上的最大值$m(b)$；
(2) 若函式$f(x)$在區間$(0,1)$有兩個不同的零點，求證：$\dfrac
解答:(1) $a=-2$時，$$f(x)=-2x^2+(2b+1)x=-2x\left(x-b-\dfrac 12\right).$$ 所以$y=|f(x)|$的最值可能在$0,1,\dfrac b2+\dfrac 14$ 處取到，先分別計算$$f(0)=0,f(1)=2b-1,f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)=\dfrac \geqslant 0.$$ 當$\dfrac b2+\dfrac 14<0$ 或$\dfrac b2+\dfrac 14>1$，即$b\dfrac 32$ 時，$$m(b)=|f(1)|=|1-2b|;$$ 當$-\dfrac 12\leqslant b\leqslant \dfrac 32$ 時，有$$m(b)=\max\left\.$$當$-\dfrac 12\leqslant b\leqslant \dfrac 12$ 時，考慮到$$f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)-|f(1)|=\dfrac ,$$ 所以
當$b當$\dfrac \leqslant b\leqslant \dfrac 12$ 時，$$m(b)=f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right).$$
當$\dfrac 12f(1)=|f(1)|$，所以$m(b)=f\left(\dfrac b2+\dfrac 14\right)$；
綜上有，\[m(b)=\begin 1-2b,&b\dfrac 32.\end\]
(2) 一方面，有$f(0)\cdot f(1)=(-a-2)(2b-1)$．另一方面，設$f(x)$ 的兩個零點分別為$x_1,x_2$，則$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$，於是\[\begin f(0)\cdot f(1)=&a(-x_1)(-x_2)\cdot a(1-x_1)(1-x_2)\\=&ax_1(1-x_1)x_2(1-x_2)\\\leqslant &a^2\cdot\left(\dfrac \right)^2\cdot\left(\dfrac \right)^2\\=&\dfrac,\end\] 因為$x_1\ne x_2$，所以等號取不到，於是原命題得證．
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