XDTIC2019招新筆試題官方解答

[1] 小宗學長正在努力學習數論，他寫下了乙個奇怪的算式：

\[2019^}}}

\]算式的結果一定很大，所以他只讓你求出這個數的後三位，聰明的你能幫幫小宗學長嗎？

[3] $dyx$學長帶著2顆雞蛋爬上了一棟100層的大樓，現在已知乙個雞蛋從第 $k$ 層及以上的樓層落下來會摔破，在第 $k$ 層以下的樓層落下則不會摔破。他想知道在最壞情況下，最少扔多少次雞蛋才能確定 $k$ 的大小。

[4] 一群吉祥物表演雜技走鋼絲，鋼絲長50公尺，從東向西看，吉祥物們分別分布在鋼絲的$4$公尺、$17$公尺、$19$公尺、$28$公尺、$44$公尺處。表演開始時，吉祥物們同時以 $1m/s$ 的速度向左或向右走，兩隻吉祥物相遇時，則同時掉頭往反方向走，走到鋼絲盡頭則被熱氣球接走。考慮所有情況，最晚被接走的吉祥物在鋼絲上停留的最長時間可能是多少？對於一般情況，給定 $n$ 只吉祥物的初始位置座標 $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ ，吉祥物被接走的最早和最晚時刻分別在什麼時候？

[5] 某高校舉辦三**書大賽，數學系一男生浪漫的寫道：

高斯拿走了我的尺規 / 我只好 / 徒手為你畫眉

現在假設你高冷的數學女神給你乙個圓規，並在紙上畫了兩個點 $a$ 和 $b$ ，你能想辦法只用圓規作出線段 $ab$ 的中點 $c$ ，博她開心一笑嗎？

[6] 俱樂部主席箱箱學長最近很想玩遊戲，於是他決定和你一起玩，遊戲是這樣的：他帶來了一堆糖果，兩個人輪流從其中拿走一定數量的糖果，拿走最後所有糖果的人為贏家，不過得遵循如下規則：

現在讓你開始先拿糖果，如果你贏了就能獲得全部糖果，輸了的話箱箱會收回他的全部糖果。

如果桌上擺著 $13$ 顆糖果，你會來嘗試挑戰嗎？如果糖果數量為任意正整數 $n$，你能想出贏得全部糖果的必勝方案嗎？

[7] 好奇的周隊發現了乙個神奇的$22$位數，它的個位數是$7$。當她用$7$去乘這個$22$位數時，發現它的積仍然是個$22$位數，只是個位數的$7$移到了第一位，其餘$21$個數字的排列順序還是原來的樣子。請問這個神奇的$22$位數是多少？

$abcdefghijklmnopqrstu7×7=7abcdefghijklmnopqrstu$

[8] tic裡有位大佬，每次在群裡出現時所有人都會驚呼：「zk大佬來水群了！！！」，但是wzk是乙個非常低調的大佬，他不希望群裡一堆菜雞吹捧自己。於是他以大佬的身份宣布凡是在群裡討論wzk的人（每次提到wzk必是一句完整的「wzk!wzk!wzknb!」）都會被他用小本本記住。那麼問題來了，wzk又是怎麼快速察覺到有人討論他呢？(此題假設tic群裡所有的話都是由字母和符號構成)

請寫出用計算機快速判斷是否討論了wzk的方法。

例如：判斷wzkwzk!!wzawzk!wzk!nbwzk!!和wzk!wzk!wzk!wzknb兩句話中是否談及wzk（計算機判斷字母或者符號是否相同只能乙個乙個對比）

\[099^ = (100-1)^ \equiv 1 \text 1000\\

2019^ \equiv 1 \text 1000

\] 現在問題轉化為求 $2018^}}$ 對 50 取餘的結果

筆算過程：

19的冪的後三位數週期是50，2018的冪模50週期是4。

2017模4等於1，從1到2016那些數都沒用。

19的18次方模1000等於841，這就是答案。

**實現：

尤拉定理降冪公式當$b \ge \varphi (c)$ 時， $a^b \% c = a^ \% c$

遞迴計算得到結果

typedef long long ll;
const int maxn = 3000;
int pri[maxn], tot;
bool vis[maxn];
int phi[maxn];
// 尤拉線性篩
void getphi(int n) 
for(int j=1;j<=tot && i*pri[j]<=n;j++)  else }}
}// 快速冪求 a^n % p
ll powmod(ll a, ll n, ll p) 
return res;
}ll f(ll a, ll p) 
// getphi(2019)
// f(2019, 1000) ==> 841

分為 $1\over7$，$2\over7$ 和 $4\over7$ 三部分。

方法一：

找規律

設 $f[n]$ 表示 $n$ 層樓，最少扔雞蛋次數。

$f[1] = 1$

$f[2] = 2, f[3] = 2$

$ f[4] = 3, f[5] = 3, f[6] = 3$

$ f[7] = 4,f[8] = 4 ,f[9] = 4 ,f[10] = 4$

$\dots$

於是 $f[100] = 14$

方法二：

設 $f[n][k]$ 表示 $n$ 層樓，$k$ 個雞蛋情況下找到答案的最少扔雞蛋次數。

顯然，只有乙個雞蛋時，必須從低層往高層逐層試驗，有

\[f[n][1] = n

\]有兩個雞蛋時，第一次先從某一層 $i$ 扔下，如果碎了，就只剩乙個雞蛋，此時答案為 $1 + f[i-1][1]$；

沒有碎的話，問題相當於求解 $f[n-i][2]$ 。最壞情況下，我們要取兩者的最大值為試驗次數。

最優解為 $i$ 取 1~100 所有嘗試的最小值。

所以\[f[n][2] = min(f[n][2], 1+max(f[i-1][1], f[n-i][2]))\]即

\[f[n][2] = min(f[n][2], 1+max(i-1, f[n-i][2]))

\]$f[0][2] = 0$ ， $f[1][2] = 1$ , $f[2][2] = 1$ ，… ，遞推得到$f[100][2]$ 。

斐波那契博弈，當糖果數量為斐波那契數時，先手必敗。

\[\begin

& fib[0] = 0, fib[1] = 1\\

& fib[n] = fib[n-1] + fib[n-2], n>=2

\end

\] 證明略。

由低位往高位計算。

答案：1014492753623188405797 * 7 = 7101449275362318840579

ans = '7' # 結果

add = 0 # 進製

now = 7 # 當前位

for i in range(1, 22) :

now = now*7 + add

add = now // 10

now = now % 10

ans = str(now) + ans

res = ('7'+ans)[0:22]

if int(ans)*7 == int(res) :

print('%s * 7 = %s' % (ans, res))

面試得到的新方法：

\[(10*x + 7)*7 = 7*10^+x

\]解得

\[x = \frac-49} = 101449275362318840579

\]所以

\[ans = 10*x + 7 = 1014492753623188405797

\] 字串匹配，kmp演算法/字串雜湊

(end)

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