演算法學習 莫比烏斯反演

【前置知識】

【數論分塊】

【問題描述】求令i從1到n，i整除k的和

【解決方法】顯而易見的，1~n的某個區間內，i整除k的值是相同的，所以我們只需要找到這個區間，然後用區間個數乘以這個區間的貢獻（即i整除k的值）

1

int res=0;2
for(int d=1;d<=nn;) 

【積性函式】

對 函式f(x) ，滿足當a，b互質時，有f(a*b)=f(a)*f(b)，則稱函式f(x)為積性函式

積性函式一般都可以通過埃篩或者線性篩常數時間求取

此處列舉幾個比較重要且常用的積性函式

φ(x) :  尤拉函式，小於等於x且和x互質的數的個數

ι (x)： 函式值恒為1的函式

id(x):   函式值等於x的函式

ε(x)： 元函式，只有當x等於1時為1，其餘情況均為0

【莫比烏斯函式】

ti 是指第 i 個數的質因子的冪次方

函式定義是：

1.當n==1時，函式值等於1

2.當有質因子的冪次方大於1的情況，函式為0

3.當所有的質因子的冪次方都等於1時，函式為（-1）的k次方，k指不同的質因子的個數

求1~maxn的莫比烏斯函式的**板子

1

intmu[maxn], prime[maxn],vis[maxn],sum[maxn];
2int cnt = 0;3
void
init()414
for (int j = 1; j <= cnt && i*prime[j])
1522
else
2326}27
}28for (int i = 1; i < maxn; i++)
29         sum[i] = sum[i - 1] +mu[i];
30 }

莫比烏斯函式還有乙個特殊的性質：

令f（x）等於，x的所有因子的莫比烏斯函式的和

則f（x）的函式值只有當x為1時等於1，其餘情況均為0

（利用質因子互質的性質可以證出來，此處就不給出證明）

【狄利克雷卷積】

狄利克雷卷積是對兩個函式進行操作，函式f，g的卷積等於，令d為n的因子，有f(d)*g(n/d)，n的所有因子的和即為f，g的狄利克雷卷積

有性質：

由上面的狄利克雷卷積定義我們可以得到以下結論：

【結論一】由莫比烏斯函式的特殊性質可知，有i*μ==ε

【結論二】和莫比烏斯函式類似，尤拉函式也有一特殊性質：

令f（x）等於，x的所有因子的尤拉函式的和 

則f（x）的函式值為x

（利用尤拉函式的定義可以證出來，此處就不給出證明）

1.φ*ι==id

2.    φ==id*μ

推導和結論如下：

【莫比烏斯反演】

（摘自推導過程如下

莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理

首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...

莫比烏斯反演

首先 莫比烏斯函式有個性質 d n d 1 n 1 0 n 1 證明 n 1時，不做多餘說明。n 1 根據唯一分解定理，可以分解n ki 1pai i 對於那些含平方因子也就是存在ai 不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣...

莫比烏斯反演

定理 f n 和f n 是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f n d nf d 那麼我們得到結論f n d n d f n d 在上面的公式中有乙個函式 d 它的定義如下 1 若d 1，那麼 d 1 2 若d p1 p2 p k 均為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 對...