\[f'(x_0) = \lim_ \frac
\]\[f'(x) \,\exists \iff f'_-(x_0) = f'_+(x_0)
\]
左導數 \(f'_-(x_0) - \lim_ \frac\)右導數 \(f'_+(x_0) = \lim_ \frac\)
\[\' = f'[g(x)] g'(x)
\]\(f(x,y) = 0\)
對於多項相乘、多項相除、開方、乘方的式子，先取對數，再求導
\((\ln)'_x = \frac \cdot u'\)
4.1.1 涉及 \(f(x)\) 的定理
設 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續，則
有界性定理
\[\exists k \gt 0 ,\, |f(x)| \le k ,\, \forall x \in[a,b]
\]最值定理
\[m \le f(x) \le m ,\, m = \min ,\, m = \max ,\, \forall x \in [a,b]
\]介值定理
若 \(m \le \mu \le m\)，則 \(\exists \xi \in [a,b]\)，使 \(f(\xi) = \mu\)
零點定理
若 \(f(a) \cdot f(b) \lt 0\)，則 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使 \(f(\xi) = 0\)
4.1.2 涉及 \(f'(x)\) 的定理
費馬定理
若 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 處可導且能取極值，則 \(f'(x_0) = 0\)
羅爾定理
若 \(f(x)\) 滿足以下三個條件：
則 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使 \(f'(\xi) = 0\)
拉格朗日中值定理
若 \(f(x)\) 滿足以下兩個條件：
則 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使 \(f'(\xi) = \frac\)
（羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例）柯西中值定理
設 \(f(x)\)和 \(g(x)\) 滿足條件：
則 \(\exists \xi \in (a,b)\)，使 \(\frac = \frac\)
泰勒公式任何可導函式 \(f(x) = \sum a_n x^n\)
涉及 \(f(x)\) 的應用
羅爾定理的應用
\(f(a) = f(b) \rightarrow f'(\xi) = 0\)
積分還原法
將欲證結論中的 \(\xi\) 改為 \(x\)
積分之（為了簡單，令 \(c=0\)）
移項使等式一端為0，另一端記為 \(f(x)\)
拉氏中值定理的應用
\(f'(\xi) = \frac\) 或 \(f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)\)
命題角度：
柯西中值定理的應用
\(\frac = \frac ,\, \frac\)
泰勒公式的應用
展開成高階
單調性與極值判別
拐點連續曲線凹凸弧的連線點（分界點）
漸近線最值
微積分（六） 一元函式微分學
二 導數的應用 三 中值定理 2 零點問題 本筆記不涉及基礎知識，重點在於分析考研數學的出題角度和對應策略。筆記隨著做題的增多，不定時更新。且為了提高效率，用表線性梳理的形式代替思維導圖，望諒解。如有缺漏錯誤，歡迎補充指正！這一章的特點是出題點較多且雜，其實考察的知識就是大綱上的那些。或者說出題的角...
筆記 一元函式微分學
f x 在 x 0 可導的充分條件為 f x 在 x 0 左右可導並有 f x f x 可導一定連續，連續不一定可導 設 y f x 則 f t fracy x fracy t fract x 常用於複雜的復合函式求導 eg.1求 a x ax e rightarrow 令u xlna righta...
HYGGE 一元函式積分學
ccun 一開始覺得一元函式積分學很難，其實真的不是很難，就算是考研究生也不沒有太多偏題，所以大家首先建立自信，好好學習這一章節 考研非常重要的一章節 然後慢慢聽我道來。首先我們從不定積分開始講起。1.定積分的定義分為三個步驟 分割，做乘積，求和，求極限。2.定積分存在定理 1 設f x 在 a,b...