今天搬完了宿舍，發現去年複習復分析的時候整理了一下這一點，下面我將其$\tex$化，原手寫稿請見這裡。
下面介紹一些復平面上的直觀，因為我們解析幾何通常以實數為基本，遇到復平面上的直線和圓時有時會很棘手，下面對此作一些整理。
注：之後$\overline$均表示$z$的共軛。
首先是圓和直線的方程。
命題1.復平面上直線與圓的方程共享同一種形式，他們是$$\alpha z\overline+\beta z+\overline\overline+\gamma =0 \qquad \alpha,\gamma\in \mathbb, \beta\in \mathbb, \delta=|\beta|^2-\alpha\gamma>0$$且圓心為$-\frac}$, 半徑為$\frac}$.以下是一些註記。證明.不難發現方程左邊的虛部總為$0$, 故只有實部有效, 帶入$z=x+yi$得到實部的方程是$$\alpha x^2+\alpha y^2+2 (\re \beta) x - 2(\im \beta) y + \gamma=\alpha\left[\left(x-\frac\right)^2+\left(y+\frac\right)^2\right]-\frac=0$$故原方程化為$$\left(x-\frac\right)^2+\left(y+\frac\right)^2=\frac=\frac$$從而圓心是$-\frac}$, 半徑為$\frac}$. 平凡的情況$\alpha=0$不難知道. $\square$
註記.以下是一些特殊情況.然後是著名的möbius變換。
定義(möbius變換).對於$a=\left(\begin a& b\\ c& d\end\right)\in \operatorname_2(\mathbb)$(即$ad-bc\neq 0$)定義擴充復平面到擴充復平面的對映$$\mu_: z\longmapsto \frac$$對於平移旋轉和位似我們已經有直觀，所以為了感受到möbius變換，要直觀感受反演顯得關鍵。例子.有如下典型的möbius變換,
實際上, 所有möbius變換都可以由上述對映復合而來, 這本質上都是中學數學的技巧. 實際上, 用線性代數的話說, 他們分別對應著一些初等矩陣.
命題(反演).關於標準反演有如下直觀除了möbius變換，還有著名的單位圓周內部的blaschke變換證明.前兩者不難根據刻畫或者方程得到. 後兩者可以用初等幾何論證, 第乙個證明是利用了相似的原理, 第二個證明則是圓冪定理. $\square$
定義(blaschke變換).令$d$是閉單位圓盤, 對於$|\alpha|<1$, 定義blaschke變換$$\varphi_: d\longrightarrow d\qquad z\longmapsto \fracz-1}$$主要的參考文獻是rudin的《實分析與復分析》和著名的《復分析視覺化原理》。評注.對於其對映定義良好(即像落在$d$中)可以初等驗證, 也可以利用最大模原理證明邊界上的像在單位圓周上即可.
命題.關於blaschke變換$\varphi_$有如下直觀
證明.第二點是因為因為$$z\mapsto w\iff \overlinezw+\alpha=z+w$$對於第三點, 可以這樣論證, 先不妨假定$\alpha$為實數, 如下圖
中間左邊的向量即為$\alpha$, 兩邊的角度分別是$\theta_1,\theta_2$(帶方向, 圖中一正一負), 外側兩腰長度為$1$. 則從左向右對應的複數分別為$$\mathrm^, \alpha, \alpha\mathrm^,\mathrm^$$兩邊之和等於中間之和即$$\mathrm^+\mathrm^=\alpha(\mathrm^+1)$$這就說明$$\mathrm^=\frac^-\alpha}^-1}$$這就證明了結論. $\square$
平面解析幾何又一題
來自網路的一道題。如圖綠色部分，a ob是等腰直角三角形，o 0,0 為座標原點，a 4,0 b 0,4 m 是ab 中點。e 在 x軸正半軸上，f ob上。emf 45o。求使得 of ef 6 的e x,0 點橫座標 x 之值。看到有人用新增紅色輔助線的方法證明了一通，無視of ef 6就得到了...
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