動態規劃 最長不下降子串行（LIS）

最長不下降子串行（longest increasing subsequence）是動態規劃中的乙個非常經典的問題：

在乙個數字序列中，找到乙個最長的子串行（可以不連續），使得這個子串行是不下降（非遞減）的

對於這個問題，最簡單的辦法就是暴力列舉每種情況，即對於每個元素有取和不取兩種選擇，然後判斷這個序列是否為不下降序列。如果是不下降序列，就更新最大長度，但是很嚴峻的乙個問題這個時候時間複雜度就變成了o（2n）了。

我們介紹一下動態規劃的解法，時間複雜度為o（n2）：

首先設定乙個陣列 dp ，令 dp[i] 代表以 a[i] 結尾的最長遞增子串行的長度，通過設定這個陣列，最長遞增子串行的長度就為 dp 中的最大值。

由於 dp[i] 是以 a[i] 作為結尾的最長不下降子串行的長度，因此只有兩種情況：

綜上，此時的狀態方程的遞推公式為

dp[i] = max(1, dp[j] + 1)

(j = 1, 2, ..., i -1 && a[j] <= a[i])

上面的狀態方程隱含了邊界：dp[i] = 1。顯然 dp[i] 只與小於 i 的 j 有關，因此只要讓 i 從小到大遍歷即可求出整個 dp 陣列。

此時，時間複雜度即為o（n2）。

**實現如下：

#include #include using namespace std;

const int maxn = 100;
int a[n], dp[n], n;	// 序列和, dp陣列, 數字總數
int main() 	// 從 1 ～ n 編號
int ans = -1;	// 記錄最大的 dp[i]
for(int i = 1; i < n; i++) 
}ans = max(ans, dp[i]);	// 確定當前結束的最長子序列的長度之後，比較
}  printf("%d", ans);
return 0;
}

最長不下降子串行（longest increasing subsequence）是動態規劃中的乙個非常經典的問題：

在乙個數字序列中，找到乙個最長的子串行（可以不連續），使得這個子串行是不下降（非遞減）的

對於這個問題，最簡單的辦法就是暴力列舉每種情況，即對於每個元素有取和不取兩種選擇，然後判斷這個序列是否為不下降序列。如果是不下降序列，就更新最大長度，但是很嚴峻的乙個問題這個時候時間複雜度就變成了o（2n）了。

我們介紹一下動態規劃的解法，時間複雜度為o（n2）：

首先設定乙個陣列 dp ，令 dp[i] 代表以 a[i] 結尾的最長遞增子串行的長度，通過設定這個陣列，最長遞增子串行的長度就為 dp 中的最大值。

由於 dp[i] 是以 a[i] 作為結尾的最長不下降子串行的長度，因此只有兩種情況：

綜上，此時的狀態方程的遞推公式為

dp[i] = max(1, dp[j] + 1)

(j = 1, 2, ..., i -1 && a[j] <= a[i])

上面的狀態方程隱含了邊界：dp[i] = 1。顯然 dp[i] 只與小於 i 的 j 有關，因此只要讓 i 從小到大遍歷即可求出整個 dp 陣列。

此時，時間複雜度即為o（n2）。

**實現如下：

#include #include using namespace std;

const int maxn = 100;
int a[n], dp[n], n;	// 序列和, dp陣列, 數字總數
int main() 	// 從 1 ～ n 編號
int ans = -1;	// 記錄最大的 dp[i]
for(int i = 1; i < n; i++) 
}ans = max(ans, dp[i]);	// 確定當前結束的最長子序列的長度之後，比較
}  printf("%d", ans);
return 0;
}

動態規劃 最長不下降子串行LIS

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線性動態規劃 最長不下降子串行（LIS）

我們知道，遞推就是按照遞推公式不斷往前求解的乙個過程，對於當前，只有乙個狀態描述當前的值。若某些問題並非由乙個狀態而是由多個狀態不斷推導，那麼這種方法就是動態規劃，簡稱dp。動態規劃是運籌學的乙個分支，是將問題分解成各個階段，由相鄰的兩個階段根據狀態轉移方程推到求解的一種方法。所謂的線性動態規劃，就...

最長不下降子串行LIS

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