模p法
對於多項式\(f(x)\)，我們經常要求其在\(\mathbb\)上的伽羅瓦群\(\text(f(x),\mathbb)\)。模\(p\)法告訴我們，我們可以通過求\(f(x)\)在\(p\)元域上的伽羅瓦群\(\text(f(x),\mathbb_p)\)得到\(\text(f(x),\mathbb)\)的資訊。其核心思想是：
定理設\(f(x)\)是首一無重根整係數多項式，\(p\)是與判別式\(d(f)\)互素的素數，則\(\text(f(x),\mathbb_p)\)是\(\text(f(x),\mathbb)\)的子群。
那麼我們怎麼求\(\text(f(x),\mathbb_p)\)呢？以下定理十分有用：
定理設\(f\)是有限域，\(f(x) = f_1(x)\dots f_m(x)\)，其中\(f_i(x)\)是\(f\)上的\(n_i\)次不可約多項式，則\(\text(f(x), f)\)是由\((1\dots n_1)(n_1+1\dots n_1 + n_2)\dots\)生成的迴圈群。
例如，求\(f(x) = x^4+3x^3 -3x -2\)在\(\mathbb\)上的伽羅瓦群\(g_f\)。
它的判別式為
\[d(f) = -2183 = -37 \times 59
\]我們考慮以下有限域：
\(f(x) \equiv x^4 + x^3 +x = x(x^3+x^2+1) \mod 2\)說明\(g_f\)包含迴圈群\(\left<(1)(234)\right>\)
\(f(x) \equiv x^4 + 1 = (x^2+x+2)(x^2+2x+2) \mod 3\)說明\(g_f\)包含迴圈群\(\left<(12)(34)\right>\)
由於\(f(x)\)在\(\mathbb\)上不可約且\(d(f)\not \in \mathbb^2\)，因此包含這些迴圈群的可遷置換群是\(g_f = s_4\)
GF p n 伽羅瓦域
異或 相同則為0,不同則為1 與 有乙個為0,結果為0 以下符號說明 表示一種運算 表示加法運算,表示乘法運算 這裡的加法和乘法都是一種運算,並不是特指整數中的加法和乘法 設g是乙個非空集合,且存在一種運算 如果它滿足 1 結合律 a b c a b c 2 存在恒等元e e a a e a 3 存...
伽羅瓦域的優化？
在這篇隨筆裡面提到伽羅瓦域。參考了很多資料，才知道伽羅瓦域原來還可以用指數表作為基本表，就得到了乙個乘法優化的有限域運算。但是加法恆元和乘法恆元不再是0和1。對此表示很無奈，計算係數時候，習慣性的用0作為初始值開始求和。結果方程組怎麼解都不對！折騰了半小時，才找到根源。但是乘法優化使得加減法的代價高...
抽象代數筆記 環 域 擴域 伽羅瓦理論
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