1. 動態規劃習題講解：
例題2-6：過河（noip2005）
【問題描述】在河上有一座獨木橋，乙隻青蛙想沿著獨木橋從河的一側跳到另一側。在橋上有一些石子，青蛙很討厭踩在這些石子上。由於橋的長度和青蛙一次跳過的距離都是正整數，我們可以把獨木橋上青蛙可能到達的點看成數軸上的一串整點：0, 1, ... , l（其中l是橋的長度）。座標為0的點表示橋的起點，座標為l的點表示橋的終點。青蛙從橋的起點開始，不停的向終點方向跳躍。一次跳躍的距離是s到t之間的任意正整數（包括s,t）。當青蛙跳到或跳過座標為l的點時，就算青蛙已經跳出了獨木橋。題目給出獨木橋的長度l，青蛙跳躍的距離範圍s,t，橋上石子的位置。你的任務是確定青蛙要想過河，最少需要踩到的石子數。
【輸入】輸入第一行有乙個正整數l（1≤l≤109），表示獨木橋的長度。第二行有三個正整數s，t，m，分別表示青蛙一次跳躍的最小距離，最大距離，及橋上石子的個數，其中1≤s≤t≤10，1≤m≤100。第三行有m個不同的正整數分別表示這m個石子在數軸上的位置（資料保證橋的起點和終點處沒有石子）。所有相鄰的整數之間用乙個空格隔開。
【輸出】輸出只包括乙個整數，表示青蛙過河最少需要踩到的石子數。
【分析】本題乍一看上去好像很簡單，因為只要沿著青蛙跳的方向，逐步遞推即可。用f(i)記錄走到位置i時，最少踩到的石子數，狀態轉移方程為：
f(i) = min+a(i) 其中 i-t<=j<=i-s
時間複雜度為o(tl)，空間複雜度為o(tl)。仔細觀察題目，發現l的數字特別大，直接進行上述動態規劃在時空間上都吃不消。
再次觀察題目，發現s和t的值非常小，m的值也非常小，兩顆石子之間有可能會有很大空隙，樸素動態規劃在時間和空間上都很浪費。用石子作為階段，石子前後若干空格作為狀態，可將原狀態修改為g(k,x)，其中k為第k顆石子，x為與該石子距離為x的空格(-st≤x≤st)。那麼，跳躍的過程即為從第k-1個石子的右邊跳到第k個石子的左邊，然後從第k個石子的左邊，再跳到第k個石子的右邊。狀態轉移函式為：
其中，move(x)表示青蛙是否可以跳x格空格（如果可以為1，否則為0），可以由s和t預處理。最終的解為最後一顆石子的右側所有值中的最小值。
時間複雜度為o((st)2m)，空間複雜度為o(stm)。
例題2-7：01揹包問題
【問題描述】有n件物品和乙個容量為c的揹包。第i件物品的重量是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
【分析】經典的揹包問題。定義f(i,c)表示將前i個物品裝入容量為c的揹包中所獲得的最大價值。狀態轉移方程為：
f(i,c) = max
初值為f(0,c)=0(c=0...c)，邊界條件為f(i,c)=負無窮（c<0）。時間複雜度為o(nc)，空間複雜度為o(nc)。
實際上，觀察狀態轉移方程，f(i,c)的值只與f(i-1,c』)的值有關，因此，可用滾動陣列壓縮狀態至2c。再次觀察狀態轉移方程，發現c'for i=1 to n
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