最近學校 c 班老師給了一道題，在這裡聊聊。
給你 \(100\) 個數 \(a_1,a_2,a_3\dots a_,a_\)。這 \(100\) 個數滿足:
求證：對於任意滿足條件的數列 \(a\)，從中取 \(50\) 個數，至少有一組能滿足選出的 \(50\) 個數的和與 \(\frac 1 2\) 的差不超過 \(\frac 1 \)。
我們考慮用類似貪心的微調法。首先我們可以把數字分為 \(50\) 組，分別以數對的方式記錄下來為：
\[t_1=(a_1,a_2)
\]\[t_2=(a_3,a_4)
\]\[t_3=(a_5,a_6)
\]\[\vdots
\]\[t_i=(a_,a_)
\]\[\vdots
\]\[t_=(a_,a_)
\]接著，我們記 \(max(t_i)\) 為 \(t_i\) 這個二元組中最大的那個數。\(min(t_i)\) 同理。
那麼我們有:
\[\sum\limits_^ min(t_i)\leq \frac\leq \sum\limits_^ max(t_i)
\]假設我們現在選擇的 \(50\) 個數是 \(min(t_1),min(t_2)\dots min(t_)\)，記目前 \(50\) 個數的和為 \(sum\)，只要 \(|sum-\frac 12|>\frac\)，我們就把其中乙個 \(min(t_i)\) 換成 \(max(t_i)\)。這樣每次 \(sum\) 的變化量就在 \(0\) 到 \(+\frac\) 之間。因為 \(\sum\limits_^ min(t_i)\leq \frac\leq \sum\limits_^ max(t_i)\)，所以我們在微調時一定有一次滿足操作前，\(sum\leq \frac\)，微調後 \(sum\geq \frac\)。而微調前後 \(sum\) 的差值 \(\leq \frac\)，因此微調前後至少有一組 \(50\) 個數是滿足條件的，得證。
我們這道題的解題思路最重要的就是分組的思想，這樣減小了兩項之間差 \(\leq \frac\) 這個條件的影響。這在資訊奧賽中應該是有一定應用的，在構造題中是乙個好方法。通過對某乙個條件進行分析，用某種手段，比如分組，在弱化這一條件帶來的影響。這個方法值得學習一下。
例題自己找
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