目錄求：
\[\sum_^c_^\mod p
\]原題傳送門。
這不是單位根反演裸題嗎
注意到模數並沒有特殊性質，可以想到從組合數的遞推公式入手。
當 k = 1 實際上就是快速冪，所以聯想到說不定可以矩陣冪優化。
記 \(f_n(r) = \sum_^c_^\)，則：
\[f_n(r) = \sum_^c_^\times f_(r - j \mod k)
\]從組合意義上不難理解上面的式子。
那麼就可以構造矩陣 a 使得 \(a_ = c_^ + [i - j = 0 \mod k]\)，跑個 \(o(k^3\log n)\) 的矩陣加速。
雖然這道題資料範圍看上去好像可以過，不過還有更快的優化方法。
注意到 a 是乙個迴圈矩陣，即 \(a_ = g(i - j \mod k)\)。同時可以證明 a 的冪也一定是迴圈矩陣。
因此，只需要維護 a 對應的 g 就可以還原出 a，而 g 的維護是 \(o(k^2)\) 的卷積，因此總時間複雜度降為 \(o(k^2\log n)\)。
如果你覺得上述演算法不好理解，事實上對於本題還有另一種理解方式：
\[f_(r) = \sum_^f_a(j)\times f_b(r - j \mod k)
\]一樣地，從組合意義不難理解上式。
也就是 dp 狀態之間可以作 「復合」 運算。那麼直接對 dp 做倍增，然後把需要的 2 的冪 「復合」 起來即可。
嘛，不過這種理解方法和上面那個是等價的就是了。
#include #include int n, p, k, r;
inline int add(int x, int y)
inline int mul(int x, int y)
int t[55];
void merge(int *a, int *b, int *c)
for(int i=0;i>=1,merge(f, f, f))
if( i & 1 ) merge(f, g, g);
}int c[55][55];
int main()
for(int i=0;i事實上，這種思路還可以延伸到 \(a_ = g(i - j*a)\) 之類的情況，不過和上面的略有些不同就是了。
Bzoj4870 SHOI2017 組合數問題
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題面 time limit 10 sec memory limit 512 mb submit 484 solved 242 submit status discuss 第一行有四個整數 n,p,k,r，所有整數含義見問題描述。1 n 10 9,0 r k 50,2 p 2 30 1 一行乙個整數代...