前言：
很久以前看過了線性篩，沒怎麼注意原理，但是後來發現線性篩還有很有用的。。
比如上次做的一道題就需要找出每個數的最小質因子，先篩再找就太慢了。。一看線性篩發現就可以直接在篩的過程中處理出來了！
今天又學習了屌炸天的jzp線性篩，可以在o(n)的時間內求出尤拉函式， 莫比烏斯函式等積性函式
原理:首先jzp線性篩並不是一種新的線性篩。。其實就是jzp大牛對線性篩的一些開發應用
先回憶一下積性函式的定義 若a，b互質 則f(ab)=f(a)*f(b)的函式f 定義為積性函式，不要求a，b互質也滿足的稱為完全積性函式
尤拉函式和莫比烏斯函式都是積性函式但不是完全積性函式
假如我們要求 尤拉函式f(n)和莫比烏斯函式 mb(n)
顯然如果n的所有質因數(p1,p2...)的次數都是1，顯然p1,p2....是互質的，滿足積性函式定義，則f(n)=f(p1)*f(p2).....同理mb(n)
而如果某個質因數p的次數不為1，假設為k，我們可以看(yy)出 f(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^k，同時由mobius函式定義知如果某個質因數次數大於1次，則其函式值為0
我們觀察 if(i%prime[j]==0) break; 這句**，此處要篩的數n =i*prime[j]，而當i%prime[j]==0 時 顯然n%(prime[j]*prime[j])==0。
因此可以知道此時在n的質因子中 prime[j]的次數已經大於1了，就可以處理相應的尤拉函式和莫比烏斯函式了！
簡單應用：
hdu1695
題意：求[1,n]和[1,m]之間有多少個互質的數
做法：以前是用容斥做的，但是容斥需要找質因數，再二進位制列舉，比較慢
莫比烏斯函式其實就是容斥的係數，所以直接列舉可能出現的約數（其實就是1~n）用莫比烏斯函式求和即可
最後的式子(不判重)為sum(i=1 to n , mb(i)*(n/i)*(m/i));
這裡還有乙個小優化，由於是整數除法，對於i=[a,n/(n/a)] n/i都是是一樣的 ，比如 100/(21,22...25)都等於4，這樣可以提前對莫比烏斯函式求字首和，直接累加即可
具體實現見**，大神們證明了這個優化可以把複雜度降到sqrt(n)級別。具體實現起來的確是快多了，hdu直接0ms ac了！
**：
#include #includeview code#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
#define maxn 100000
bool notprime[maxn+10
];int prime[maxn+10
];int mb[maxn+10
];int f[maxn+10
];long
long sum[maxn+10
];int
np;long
long
n,m;
void
jzp()
for(int j=0; j)
else}}
}int
main()
while(t--)
n=min(b/k,d/k);
m=max(b/k,d/k);
long
long ans=0
;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=-(ans/2
);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf(
"case %d: %i64d\n
",cas++,ans);
}return0;
}
最後貼jzp篩模板
bool notprime[maxn+10];int prime[maxn+10
];int mb[maxn+10]; //
mobius
int f[maxn+10]; //
euler
intnp;
void
jzp()
for(int j=0;j)
else}}
}
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