最小割總結

最小割通常應用到有限制條件的問題上，初步學習時會較為難理解，希望在看完本文章後能對您有所幫助

兩大建模理解：

最大權閉合子圖的思想

雖然和最大權閉合子圖有點像\((\)有正負權和依賴關係\()\)，但具體的關係還是模糊的，所以往那方面想就肯定錯了

首先將所有裝置按正(源)負(匯)與超級點連線，容量為權值絕對值大小，在有依賴條件下，兩點有向連線容量為限制費

思路大體：先全部選擇正點權，再減去最小割，而三種對應的割法在於放棄那哪個(跟源點或匯點斷開)或者兩個都選(割限制費)

顯然這題是會把\(0,1\)確定乙個分界線，用最小割做就行了

\(d\)限制抽象來說就是：選\((i,j,k)\)，當\((x,y)\)與\((i,j)\)相鄰時，選擇範圍在\((i,j,[k-d,k+d])\)

\(pos_\xrightarrow} pos_\)，而對於割這條邊則表示選\((i,j,k)\)，則\(pos_\xrightarrow pos_,pos_\xrightarrow pos_\)

這樣保證了割掉\((i,j,k)\)之後不割\((x,y,[k-d,k+d])\)會導致圖依然聯通

\(s\)與工作相連，容量為利潤，機器與\(t\)相連，容量為費用

工作與機器的連邊為租用費用，與其他工作不造成影響，雖然占用了機器與\(t\)的容量，但這是與是否買機器進行了似貪心的操作

僅兩種情況，拆點(黑色，白色)，二分圖且與源點/匯點容量為價值，二分圖之間的邊容量\(inf\)

比如黑色的格外條件價值，同時選\((x_i,y_i)\)，則格外價值為\(val\)

新建節點\(nod\)，\(s\xrightarrownod,nod\xrightarrow(x_i,y_i)\)

如果割掉了\((x_i,y_i)\)與\(s\)的連邊，那一定得割\(val\)，否則還是聯通

方格染色，黑\(x\)，白\(y\)：\(s\xrightarrow x,x\xrightarrowt;s\xrightarrowy,y\xrightarrowt\)

兩種方法：

分析：\(1\)屬於\(a\)，\(n\)屬於\(b\)，其他的\(i\)規劃到\(a/b\)的利益為\(v_ai,v_bi\)，相鄰點同色有\(s_a,v_b\)的利益(值均不同)，相鄰異色會損失\(n\)(值均不同)

\(s\xrightarrow1,n\xrightarrow1：\)強制歸屬集合

\(s\xrightarrow}i,i\xrightarrow}：\)分類

\(s\xrightarrownod,nod\xrightarrow(i,x);nod'\xrightarrowt,(i,x)\xrightarrownod'\)：文理分科建圖，不贅述

\(i\xrightarrowx,x\xrightarrowi：\)圈地計畫建圖，不贅述

不重複計算，重重單向限制：最大權閉合子圖

每個區間按正負與\(s/t\)連邊，區間強制選擇\(pla_\xrightarrow(pla_pla_)\)，區間內的點強制選擇\(pla_\xrightarrow(pos_ipos_j)\)

點與編號的關係\(pos_\xrightarrowid_\)，點自身的費用\(pos_\xrightarrowt\)，編號的費用\(id_i\xrightarrowt\)

觀察非法情況都為兩方塊中夾著藍線，兩方塊兩邊各另有一塊其他顏色的，顯然每對對紫塊互不影響

我們染色後：

我們記白方塊為\(w\)，黑為\(b\)，紫為\(z_1,z_2\)：\(s\xrightarroww,w\xrightarrowz_1,z_1\xrightarrow,val_)}z_2,z_2\xrightarrowb,b\xrightarrows\)

破壞\(lis\)顯然是網路流的乙個基本最小割模型

\(c\)各不相同，貪心選擇即可，判斷是否為最小割可行邊\((\)是否\(u\)不能到達\(v)\)，而每次選擇後需要直接割掉，生產的結果是退流：\(u\xrightarrow}s,v\xrightarrow}t\)