組合數學 思維題 10 6種樹

感謝學弟貢獻的精彩人類智慧型

$n,m \le 5000$

考慮一下這些葉子的左偏距離有沒有什麼性質

首先把葉子從左到右寫成乙個序列。初看上去相鄰兩個權值的變化沒有什麼規律，但是仔細思考一下就會發現因為每乙個左葉子都有對應的右葉子，因此對相鄰的元素有關係$w_l \le w_r+1$。並且這樣構造出來的序列是和合法的二叉樹一一對應的。

於是接下來dp構造這個序列。$f[i][j]$表示構造完了$1\cdots i$，現在$i$位置權值為$j$的合法方案數。最終的答案就是$f[i][0]$.

1 #include2

#define mo 998244353
3const
int maxn = 5035;4
5int
n,m,f[maxn][maxn],sum[maxn];67
intmain()818
for (int i=1; i<=n; i++) printf("
%d\n
",f[i][0
]);19
return0;
20 }

首先如果一點附加條件都沒有，這即是二叉樹的計數問題，應當要想到卡特蘭數。

那我們就模擬卡特蘭數的平面直角座標繫帶限制走路問題來考慮。

這是類似dfs樹的乙個優先走左兒子的過程，定義每一次向左兒子（並非只對左葉子）走就是在座標系上走$\texttt$的一步；從左兒子回溯向上就是在座標系上走$\texttt$的一步。

以上面這棵樹為例，構造出來的座標系是這樣的。

得益於這棵「左右兒子對應存在」的二叉樹特殊性質，擁有$n$個葉子節點的樹中恰好會有$n$個左兒子，也就是說座標系上最後的終點是$\texttt$.而影象裡每乙個拐點即對應有著極大值的左葉子。

這個構造的性質非常好，由此我們發現了「左偏距離$\le m$」的所有方案即和「影象上所有拐點縱座標$

1 #include2

#define mo 998244353
3const
int maxn = 5035;4
5int
m,n,f[maxn][maxn];67
intmain()819
for (int i=0; i"
%d\n
",f[i][0
]);20
return0;
21 }

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