《更新提示》
《正文》
迴圈排列：從\(n\)個元素中選出\(m\)個排成圓圈的方案數，相當於線性排列時固定第乙個數的方案。乙個迴圈排列可以對應\(m\)個線性排列，進而可以得到迴圈排列的計算公式：
\[cir_^=\frac^}=\frac
\]
把\(n+1\)個物品放入\(n\)個盒子中，那麼至少有乙個盒子包含兩個或兩個以上的物品。證明：
反證法，若每個盒子只有乙個物品，則物品總數至多為\(n\)，矛盾。
設有\(\sum_^nq_i-n+1\)個物品放入\(n\)個盒子中，每個盒子中分別放了\(a_1,a_2,...,a_n\)個物品，則至少存在乙個\(k\)，使得\(a_k\geq q_k\)。證明：
反證法，若每個盒子滿足\(a_i，則物品總數至多為\(\sum _^nq_i-n\)，矛盾。
我們定義\(n^}\)為\(n\)的\(k\)次下降階乘冪，其計算式為：
\[n^}=n\times (n-1)\times ... \times (n-k+1)
\]其中\(k\)是整數，\(n\)可以是任意實數。
我們發現組合數可以用下降階乘冪來表示：
\[c_^=\binom=\frac}}
\]於是我們就可以擴充組合數的定義域。也就是說，組合數的上指標\(n\)可以為任意實數。
\[\binom=\binom
\]對於\(n,m\in \n\)成立。
證明：\[\binom=\frac=\frac=\binom
\]\[\binom=\frac\binom
\]對於\(r\in \r，k\in \n^+\)成立。
證明：\[\binom=\frac}}=\frac\times \frac}}=\frac\binom
\]\[(r-k)\binom=r\binom
\]對於\(r\in \r,k\in \n\)成立。
\[(r-k)\binom=\frac=r\times \frac}}\\\ \\=r\binom=r\binom
\]\[\binom=\binom+\binom
\]對於\(r\in \r,k \in \n\)成立。
證明：\[\binom+\binom=\frac}}+\frac}}\\ \ \\=\frac}}+\frac}}\\ \ \\ =\frac}}=\binom
\]\[\sum_^n\binom=\binom
\]對於\(n,m\in \n\)成立。
證明：設有\(n+1\)個物品，標號為\(1\sim n\)，現在從中選取\(m+1\)個物品，當選取的最大號碼為\(i\)時，方案數為\(\binom\)，那麼列舉累加方案數就得到了：\(\sum_^n\binom=\binom\)。
\[\sum_^n\binom=\binom
\]對於\(n,m\in \n\)成立。
證明：\[\sum_^n\binom=\sum_^n\binom\\ \ \\ =\sum_^\binom=\binom=\binom
\]\[\binom=(-1)^k\binom
\]對於\(r\in \r,k\in \n\) 成立。
證明：\[\binom=\frac}}\\ \ \\ =\frac\\ \ \\ =\frac\times (k-r-1)\times (k-r-2) \times ... \times (-r)}\\ \ \\ =(-1)^k\frac}}=(-1)^k\binom
\]\[\binom\binom=\binom\binom
\]對於\(r\in \r , n,m\in \n\)成立。
證明：\[\binom\binom=\frac=\binom\binom
\]\[\sum_^n\binom\binom=\binom
\]對於\(r,s\in \r , n\in \n\)成立。
證明：左邊表示從\(r\)個男生中選\(k\)個人，從\(s\)個女生中選出\(n-k\)個人的方案數，求和即為在\(r+s\)個人中選\(n\)個人的方案數，可知：\(\sum_^n\binom\binom=\binom\)。
\[(a+b)^n=\sum_^n\binoma^b^
\]上文中，我們已經可以將組合數\(\binom\)的上指標擴充到實數域。在實數域的組合數中，二項式定理仍然成立，我們稱之為廣義二項式定理，又稱牛頓二項式定理。
\[(a+b)^r=\sum_^\binoma^b^
\]若\(p\)為質數，則對於\(n\in[1,p-1]\)，有\(p\ |\ \binom\)。
證明：\[\because \binom=\frac\in \z\\ \ \\ \therefore n!\ |\ p\times (p-1) \times ... \times (p-n+1)\\ \ \\ \because(p,n)=1\\ \ \\ \therefore n!\ |\ (p-1) \times (p-1) \times ... \times (p-n+1)\\ \ \\ \therefore p\ |\ \binom
\]定義多項式係數：
\[\binom=\frac
\]則有如下的多項式定理成立：
\[(x_1+x_2+...+x_k)^n=\sum_\binomx_1^x_2^...x_k^
\]我們已經定義下降階乘冪：
\[x^}=x\times (x-1)\times ... \times (x-n+1)
\]同理我們定義上公升階乘冪：
\[x^}=x\times (x+1)\times ... \times (x+n-1)
\]我們可以提取符號，寫成另一種形式：
\[x^}=(-1)^n(x-n+1)^},x^}=(-1)^n(1-x-n)^}
\]二項式定理對階乘冪仍然成立：
\[(a+b)^=\sum_^n\binoma^b^}\\ \ \\ (a+b)^=\sum_^n\binoma^b^}
\]求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的正整數解的個數。
這個問題等價於把\(n\)個球放入\(k\)個盒子中，每個盒子中至少有\(1\)個球，由隔板法可知其方案數為\(\binom\)。
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的非負整數解的個數。
我們可以新增\(k\)個球，這樣問題就等價於把\(n+k\)個球放入\(k\)個盒子中，每個盒子中至少有\(1\)個球，由隔板法可知其方案數為\(\binom\)。
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的整數解的個數，滿足\(x_1\geq a_1,x_2\geq a_2,...,x_k\geq a_k\)。
這個問題等價於不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n-a_1-a_2-...-a_k\)的非負整數解個數，可以其方案數為$$\binom^a_i}$$
求不定方程\(x_1+x_2+...+x_k=n\)的整數解的個數，滿足\(a_1\leq x_1\leq b_1,a_1\leq x_2\leq b_2,...,a_k\leq x_k\leq b_k\)。
首先把限制轉換為\(0\leq x_1\leq b_1-a_1,...,0\leq x_k\leq b_k-a_k\)，運用容斥原理，答案即為：
\[\binom-\binom^n(b_i-a_i+1)}
\]
《後記》
組合數學 求組合數
對於求組合數，要根據所給資料範圍來選擇合適的演算法 這道題中所給的資料範圍適合用打表的方法直接暴力求解 先用4e6的複雜度預處理出所有的情況，再用1e4的複雜度完成詢問即可 include using namespace std const int n 2010 const int mod 1e9 ...
數學 組合數學
mod must be a prime const int mod 1e9 7 namespace combinatory ll inv ll x ll fac maxn invfac maxn void initc int n ll a ll n,ll m ll c ll n,ll m ll d ...
組合數學筆記
從n個數中選m個數，每個數至多選一次，方案數 性質 c n,0 c n,n 1 c n,m c n,n m c n,m c n 1,m 1 c n 1,m 楊輝三角 二項式展開 x y n i 0.n c n,i x iy n i 那這裡先說一下楊輝三角 前提 每行端點與結尾的數為1 每個數等於它上...