設事件a有m種產生方式，事件b有n種產生方式，則事件a或b之一有m+n種產生方式。
集合論語言：若 |a| = m , |b| = n , a∩b = φ, 則 |aub| = m + n 。
《例》
（1）某班選修企業管理的有 18 人，不選的有 10 人，則該班共有 18 + 10 = 28 人。
（2）北京每天直達上海的客車有 5 次，客機有 3 次， 則每天由北京直達上海的旅行方式有 5 + 3 = 8 種。
設事件a有m種產生式，事件b有n種產生方式，則事件a與b有 m · n種產生方式。
集合論語言：若 |a| = m , |b| = n , a*b = , 則 |a * b| = m * n 。
《例》
（1） 某種字串由兩個字元組成，第乙個字元可選自，第二個字元可選自，則這種字串共有5 * 3 = 15 個。
（2） 從a到b有三條道路，從b到c有兩條道路，則從a經b到c有3 * 2=6 條道路。
（3*）a.求小於10000的含1的正整數的個數
分析：小於10000的不含1的正整數可看做4位數,但0000除外.
故有9×9×9×9－1＝6560個.
含1的有：9999－6560=3439個
b.求小於10000的含0的正整數的個數
分析：
不含0的1位數有9個，2位數有9*9 個，3位數有9^3 個，4位數有9^4 個
不含0小於10000的正整數有9+9^2+9^3+9^4 =7380個
含0小於10000的正整數有9999－7380=2619個
定義：從n個不同的元素中，取r個不重複的元素，按次序排列，稱為從n個中取r個的無重排列。當r=n時稱為全排列。一般不說可重即無重。可重排列的相應記號為p(n,r) 。
排列：從n個中取r個的排列的典型例子是從n個不同的球中,取出r個,放入r個不同的盒子裡,每盒1個。第1個盒子有n種選擇，第2個有n-1種選擇，······，第r個有n-r+1種選擇。故有p(n,r)=n(n-1)······(n-r+1)。
組合：從n個中取r個的組合的典型例子是從n個不同的球中,取出r個,放入r個相同的盒子裡。每個盒子要放乙個球。每一種組合方案都可以衍生出r！種排列方案來。c(n,r)=p(n,r)/r!。
性質1：c(n,0)=c(n,n)
性質2：c(n,k)=c(n,n-k)
性質3：c(n,k)+c(n,k+1)=c(n+1,k+1)
二項式定理：
《例》
1.有重複元素的全排列
有k種元素,其中第i種元素有ni個,所有元素一共是n個。求全排列的個數.
解:設元素的總數為n。它同一類元素被重複計算了ni!次.所以答案為:n!/(n1!*n2!*…nk!)
2.可重複選擇的組合
有n個不同的元素，每個元素可以選多次，一共選擇k個元素，有多少種方法？
如n=3，k=2，有6種選擇：(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)
分析：設第乙個元素選擇x1個，第二個元素選擇x2個，……，第n個元素選擇xn個。則有方程：x1+x2+……xn=k。問題轉換為求方程的非負整數解的個數。令yi=xi+1，則答案為y1+y2+…+yn=k+n的正整數解的個數。想想k+n個相同的小球拍成1列，現在要把它分成n個部分，則只需在其中放置n-1塊隔板即可。一共有k+n-1個位置用來放隔板，所以答案為c(n+k-1,n-1)
將乙個整數n拆成無序的k個數的和，問有多少種方法？
將n個相同的球全部放入k個相同的盒子，問有多少種方法？
p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)
將乙個包含n個元素的集合拆成k個子集，每個子集非空，且子集之間無交集，問有多少種方法？
設s(n,k)表示解，則s(n,k)=s(n-1,k-1)+s(n-1,k)*k,其中s(n,n)=1,s(n,1)=1,若i將n個不同的小球全部放入k個相同的盒子，要求每個盒子都不為空。
將乙個包含n個元素的集合拆成有序的k個子集，每個子集非空，且子集之間無交集，問有多少種方法？
將n個不同的小球全部放入k個不同的盒子，要求每個盒子都不為空。
設s(n,k)表示集合n的無序分拆，則本題的答案為：
k!*s(n,k)
其中s(n,n)=1,s(n,1)=1,若i將乙個整數n拆成有序的k個數的和，問有多少種方法？
將n個相同的球全部放入k個不同的盒子，問有多少種方法？
將n個不同的數分成k個非空迴圈排列一共有多少種方法。
s1(n,k)=s1(n-1,k-1)+(n-1)*s1(n-1,k)
遞推關係的說明：
考慮第n個數，n可以單獨構成乙個非空迴圈排列，這樣前n-1種數構成k-1個非空迴圈排列，方法數為s1(n-1,k-1)；
也可以前n-1種數構成k個非空迴圈排列，而第n個數插入第i個數的左邊，這有(n-1)*s1(n-1,k)種方法。
又名抽屜原理。有n個鴿籠，現在放入m只鴿子（m>n）則必有兩隻鴿子在乙個籠子。
如果被計數的事物有a、b、c三類，那麼，a類和b類和c類元素個數總和= a類元素個數+ b類元素個數+c類元素個數—既是a類又是b類的元素個數—既是a類又是c類的元素個數—既是b類又是c類的元素個數+既是a類又是b類而且是c類的元素個數。
（a∪b∪c = a+b+c - a∩b - b∩c - c∩a + a∩b∩c）
《公式》
組合數學 求組合數
對於求組合數，要根據所給資料範圍來選擇合適的演算法 這道題中所給的資料範圍適合用打表的方法直接暴力求解 先用4e6的複雜度預處理出所有的情況，再用1e4的複雜度完成詢問即可 include using namespace std const int n 2010 const int mod 1e9 ...
數學 組合數學
mod must be a prime const int mod 1e9 7 namespace combinatory ll inv ll x ll fac maxn invfac maxn void initc int n ll a ll n,ll m ll c ll n,ll m ll d ...
組合數學筆記
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