梯度下降法的三種形式 BGD SGD MBGD

在應用機器學習演算法時，我們通常採用梯度下降法來對採用的演算法進行訓練。其實，常用的梯度下降法還具體包含有三種不同的形式，它們也各自有著不同的優缺點。

下面我們以線性回歸演算法來對三種梯度下降法進行比較。

一般線性回歸函式的假設函式為：

對應的損失函式為：

下圖為乙個二維引數（θ

0'>θ0和θ1

'>θ1

）組對應能量函式的視覺化圖：θ0

批量梯度下降法（batch gradient descent，簡稱bgd）是梯度下降法最原始的形式，它的具體思路是在更新每一引數時都使用所有的樣本來進行更新。

我們的目的是要誤差函式盡可能的小，即求解weights使誤差函式盡可能小。首先，我們隨機初始化weigths，然後不斷反覆的更新weights使得誤差函式減小，直到滿足要求時停止。這裡更新演算法我們選擇梯度下降演算法，利用初始化的weights並且反覆更新weights：

這裡代表學習率，表示每次向著j最陡峭的方向邁步的大小。為了更新weights，我們需要求出函式j的偏導數。首先當我們只有乙個資料點（x,y）的時候，j的偏導數是：

則對所有資料點，上述損失函式的偏導（累和）為：

再最小化損失函式的過程中，需要不斷反覆的更新weights使得誤差函式減小，更新過程如下：

那麼好了，每次引數更新的偽**如下：

由上圖更新公式我們就可以看到，我們每一次的引數更新都用到了所有的訓練資料（比如有m個，就用到了m個），如果訓練資料非常多的話，是非常耗時的。

下面給出批梯度下降的收斂圖：

從圖中，我們可以得到bgd迭代的次數相對較少。

**實現：

def
batchgradientdescent(x, y, theta, alpha, m, maxiteration):
for i in
range(maxiteration):
hypothesis =np.dot(x, theta)
loss = hypothesis -y
gradient = np.dot(x.transpose(), loss) /m
theta = theta - alpha * gradient              #
對所有樣本求和
return theta

2、隨機梯度下降法sgd由於批梯度下降每跟新乙個引數的時候，要用到所有的樣本數，所以訓練速度會隨著樣本數量的增加而變得非常緩慢。隨機梯度下降正是為了解決這個辦法而提出的。它是利用每個樣本的損失函式對θ求偏導得到對應的梯度，來更新θ：

更新過程如下：

隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到所有訓練樣本（往往如今真實問題訓練資料都是非常巨大），一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。

但是，sgd伴隨的乙個問題是噪音較bgd要多，使得sgd並不是每次迭代都向著整體最優化方向。

隨機梯度下降收斂圖如下：

我們可以從圖中看出sgd迭代的次數較多，在解空間的搜尋過程看起來很盲目。但是大體上是往著最優值方向移動。

**實現：

def
stochasticgradientdescent(x, y, theta, alpha, m, maxiteration):
data =
for i in range(10):
#這裡隨便挑選乙個進行更新點進行即可（不用想bgd一樣全部考慮）
for i in
range(maxiteration):
hypothesis =np.dot(x, theta)
loss = hypothesis - y  #
這裡還是有十個樣本
index = random.sample(data, 1)[0]  #
隨機抽取乙個樣本，得到它的下標
gradient = loss[index] * x[index]  #
只取乙個點進行更新計算
theta = theta - alpha *gradient.t
return theta

3、min-batch 小批量梯度下降法mbgd我們從上面兩種梯度下降法可以看出，其各自均有優缺點，那麼能不能在兩種方法的效能之間取得乙個折衷呢？既演算法的訓練過程比較快，而且也要保證最終引數訓練的準確率，而這正是小批量梯度下降法（mini-batch gradient descent，簡稱mbgd）的初衷。

我們假設每次更新引數的時候用到的樣本數為10個（不同的任務完全不同，這裡舉乙個例子而已）

更新偽**如下：

4、三種梯度下降方法的總結

1.批梯度下降每次更新使用了所有的訓練資料，最小化損失函式，如果只有乙個極小值，那麼批梯度下降是考慮了訓練集所有資料，是朝著最小值迭代運動的，但是缺點是如果樣本值很大的話，更新速度會很慢。

2.隨機梯度下降在每次更新的時候，只考慮了乙個樣本點，這樣會大大加快訓練資料，也恰好是批梯度下降的缺點，但是有可能由於訓練資料的雜訊點較多，那麼每一次利用雜訊點進行更新的過程中，就不一定是朝著極小值方向更新，但是由於更新多輪，整體方向還是大致朝著極小值方向更新，又提高了速度。

3.小批量梯度下降法是為了解決批梯度下降法的訓練速度慢，以及隨機梯度下降法的準確性綜合而來，但是這裡注意，不同問題的batch是不一樣的。

梯度下降法的三種形式 BGD SGD MBGD

梯度下降法的三種形式BGD SGD以及MBGD

梯度下降法的三種形式BGD SGD以及MBGD

梯度下降法的三種形式BGD SGD以及MBGD

梯度下降法的三種形式 BGD SGD MBGD

梯度下降法的三種形式BGD SGD以及MBGD

梯度下降法的三種形式BGD SGD以及MBGD

梯度下降法的三種形式BGD SGD以及MBGD

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