梯度下降法的三種形式BGD SGD以及MBGD

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在應用機器學習演算法時，我們通常採用梯度下降法來對採用的演算法進行訓練。其實，常用的梯度下降法還具體包含有三種不同的形式，它們也各自有著不同的優缺點。

下面我們以線性回歸演算法來對三種梯度下降法進行比較。

一般線性回歸函式的假設函式為：

對應的能量函式（損失函式）形式為：

（這裡的1/2是為了後面求導計算方便）

下圖為乙個二維引數（θ0和θ1）組對應能量函式的視覺化圖：

批量梯度下降法（batch gradient descent，簡稱bgd）是梯度下降法最原始的形式，它的具體思路是在更新每一引數時都使用所有的樣本來進行更新，其數學形式如下：

(1) 對上述的能量函式求偏導：

(2) 由於是最小化風險函式，所以按照每個引數θ

的梯度負方向來更新每個θ

具體的偽**形式為：

repeat{　　　　

（for every j=0, ... , n）

從上面公式可以注意到，它得到的是乙個全域性最優解，但是每迭代一步，都要用到訓練集所有的資料，如果樣本數目m

很大，那麼可想而知這種方法的迭代速度！所以，這就引入了另外一種方法，隨機梯度下降。

優點：全域性最優解；易於並行實現；

缺點：當樣本數目很多時，訓練過程會很慢。

從迭代的次數上來看，bgd迭代的次數相對較少。其迭代的收斂曲線示意圖可以表示如下：

回到頂部

由於批量梯度下降法在更新每乙個引數時，都需要所有的訓練樣本，所以訓練過程會隨著樣本數量的加大而變得異常的緩慢。隨機梯度下降法（stochastic gradient descent，簡稱sgd）正是為了解決批量梯度下降法這一弊端而提出的。

將上面的能量函式寫為如下形式：

利用每個樣本的損失函式對θ

求偏導得到對應的梯度，來更新θ

具體的偽**形式為：

1. randomly shuffle dataset；

2.repeat{

for i=1, ... , m

(for j=0, ... , n

隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬），那麼可能只用其中幾萬條或者幾千條的樣本，就已經將theta迭代到最優解了，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓練樣本，一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。但是，sgd伴隨的乙個問題是噪音較bgd要多，使得sgd並不是每次迭代都向著整體最優化方向。

優點：訓練速度快；

缺點：準確度下降，並不是全域性最優；不易於並行實現。

從迭代的次數上來看，sgd迭代的次數較多，在解空間的搜尋過程看起來很盲目。其迭代的收斂曲線示意圖可以表示如下：

回到頂部

有上述的兩種梯度下降法可以看出，其各自均有優缺點，那麼能不能在兩種方法的效能之間取得乙個折衷呢？即，演算法的訓練過程比較快，而且也要保證最終引數訓練的準確率，而這正是小批量梯度下降法（mini-batch gradient descent，簡稱mbgd）的初衷。

mbgd在每次更新引數時使用b個樣本（b一般為10），其具體的偽**形式為：

sayb=10, m=1000.

repeat{

for i=1, 11, 21, 31, ... , 991{

(for every j=0, ... , n)

batch gradient descent:use all examples in each iteration；

stochastic gradient descent:use 1 example in each iteration；

mini-batch gradient descent:use b examples in each iteration.

梯度下降法的三種形式BGD SGD以及MBGD

梯度下降法的三種形式 BGD SGD MBGD

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