梯度下降法和隨機梯度下降法的區別

這幾天在看《統計學習方法》這本書，發現 梯度下降法 在 感知機 等機器學習演算法中有很重要的應用，所以就特別查了些資料。 　　

一.介紹

梯度下降法（gradient descent）是求解無約束最優化問題的一種常用方法，有實現簡單的優點。梯度下降法是迭代演算法，每一步需要求解目標函式的梯度向量。

二.應用場景

1.給定許多組資料（xi, yi），xi （向量）為輸入，yi為輸出。設計乙個線性函式y=h（x）去擬合這些資料。

2.感知機：感知機（perceptron）為二類分類的線性分類模型。 輸入為例項的特徵向量，輸出為例項的類別， 取+1 和 -1 二值。

下面分別對這兩種應用場景進行分析。

1.對於第一種場景:

既然是線性函式，在此不妨設為 h(x) = w0*x0 + w1*x1。

此時我們遇到的問題就是如何確定w0和w1這兩個引數，即w=（w0，w1）這個向量。

既然是擬合，則擬合效果可以用平方損失函式：e(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 來衡量。

其中w是權重二維向量，x是輸入二維向量，x和y都是訓練集的資料，即已知。

至於後面除於2只是為了之後的推導過程中對e求導時候可以消除係數，暫時可以不管。

因此該問題變成了求e(w)最小值的無約束最優化問題

2.對於第二種場景:

假設輸入空間(特徵向量)為x，輸出空間為y = ,由輸入空間到輸出空間的如下函式

f(x) = sign(w · x + b)       w∈rn     其中 w 叫做權值或者權值向量, b叫做偏振。w · x 表示向量w和x的點積

感知機sign(w · x + b)的損失函式為  l(w, b) = -∑yi(w · xi + b)              x ∈m, m為誤分類點集合。

因此該問題變成了求l(w, b)最小值的無約束最優化問題

三.梯度下降方法

梯度其實就是高數求導方法，對e這個公式針對每個維數（w0，w1）求偏導後的向量▽e(w)=（∂e/∂w0,∂e/∂w1）

1. 對於第一種場景

對e這個公式針對每個維數（w0，w1）求偏導後的向量▽e(w)=（∂e/∂w0,∂e/∂w1）

梯度為最陡峭上公升的方向，對應的梯度下降的訓練法則為： w=w-η▽e(w)     這裡的η代表學習速率，決定梯度下降搜尋中的步長 。

上式的w是向量，即可用將該式寫成分量形式為:wi=wi-η*∂e/∂wi

現在關鍵就使計算∂e/∂wi：

推導過程很簡單，書上寫的很詳細，這裡只記錄結論(其實就是對目標函式求導):

∂e/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi)

這裡的∑是對樣本空間，即訓練集進行一次遍歷，耗費時間較大，可以使用梯度下降的隨機近似：

2. 對於第二種場景

感知機學習演算法是誤分類驅動的，具體採用隨機梯度下降方法

▽wl(w, b) =   -∑yixi

▽bl(w, b) =   -∑yi

隨機選取乙個誤分類點（xi,   yi), 對w, b進行更新：

w  b  

四.隨機梯度下降的隨機近似：

既然是隨機近似，則顧名思義，肯定是用近似方法來改善梯度下降時候的時間複雜度問題。

正如上所說，在∂e/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi) 的時候∑耗費了大量的時間，特別是在訓練集龐大的時候。

所以肯定有人會猜想，如果把求和去掉如何，即變為∂e/∂wi=（h(x)-y）*(xi)。

幸運的是，猜想成立了。

只是要注意一下標準的梯度下降和隨機梯度下降的區別：

1.標準下降時在權值更新前彙總所有樣例得到的標準梯度，隨機下降則是通過考察每次訓練例項來更新。

2.對於步長 η的取值，標準梯度下降的η比隨機梯度下降的大。

因為標準梯度下降的是使用準確的梯度，理直氣壯地走，隨機梯度下降使用的是近似的梯度，就得小心翼翼地走，怕一不小心誤入歧途南轅北轍了。

3.當e（w）有多個區域性極小值時，隨機梯度反而更可能避免進入區域性極小值中。

四.**及例項：

1. 對於第一種場景

1 /*

2  * 隨機梯度下降實驗：
3  * 訓練集輸入為矩陣：
4  * 1,4
5  * 2,5
6  * 5,1
7  * 4,2
8  * 輸出結果為：
9  * 19
10  * 26
11  * 19
12  * 20
13  * 需要引數為 w：
14  * ？
15  * ？
16  *
17  * 目標函式:y=w0*x0+w1*x1;
18  *
19  * */
20 #include21 #include 22 int main()
23 ,,,};
25     double result[4]=;
26     double w[2]=;//初始為零向量
27     double loss=10.0;
28     const double n = 0.01;        //步長 
29     for(int i=0;i<100&&loss>0.001;i++)
30     
39             error_sum = h - result[j];
40             for(int k=0;k<2;k++)
41             
44          }
45         printf("%lf,%lf\n",w[0],w[1]);
46         double loss=0;
47         for(int j=0;j<4;j++)
48         
54         loss += (sum - result[j]) * (sum-result[j]);
55      }
56         printf("%lf\n",loss);
57     }
58 59     system("pause");
60     return 0;
61 }

1. 對於第二種場景

1 /*

2  * 基於感知機的隨機梯度下降實驗：  《統計學習方法》- p29-例2.1 
3  * 訓練集輸入為矩陣：
4  * 3,3
5  * 4,3
6  * 1,1
7  * 輸出結果為（表示例項的分類）：
8  * 1 
9  * 1
10  * -1 
11  * 需要引數為 w：
12  * ？
13  * ？
14  *
15  * 目標函式:y = w0 * x0 + w1 * x1 + b; 
16  *
17  * */
18 #include19 #include 20 int main()
21 ,,};
23     double y[4]=;
24     double w[2]=;//初始為零向量
25     double b = 0;
26     int j;
27     const double n = 1;        //步長 
28  
29     while(1)
30     
36         if(j < 3)
37         
42          else
43             break;
44         printf("%d :%lf,%lf %lf\n", j, w[0], w[1], b);
45         
46     }
47 48     system("pause");
49     return 0;
50 }

參考：1.    

2.    李航 統計學習方法

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