「牛頓下降法和梯度下降法在機器學習和自適應濾波中的都很重要，本質上是為了尋找極值點的位置。但是收斂的速度不同。 本文中就兩種方法來**一下，哪種收斂方法速度快「
牛頓下降法的遞推公式： x
n+1=
xn−f
′(xn
)/f′′
(xn)
梯度下降演算法的遞推公式： x
n+1=
xn−μ
∗f′(
xn)
下圖是兩種方法的圖示表示，紅色為牛頓下降法，綠色為梯度下降法，從圖中直觀的感覺是，紅色線短，下降速度快。因為牛頓下降法是用二次曲面去擬合當前的區域性曲面，而梯度下降法是用平面去擬合當前的區域性曲面，一般用二次曲面擬合的更好，所以一般牛頓演算法收斂快。關於以上的說法中，梯度下降法是用平面去擬合當前的區域性曲面。梯度 f』(x)的方向是函式變大的方向。這裡需要解釋一下，對於一維情況而言，梯度方向只有正方向和負方向。至於為什麼梯度下降演算法就是用平面去擬合了，大多數情況下，沒有講的詳細。接下來就聊一下為什麼。
首先考慮一下這個公式，這是一階泰勒展式，其實就是用平面去擬合函式的區域性曲面。 f
(x+δ
x)=f
(x)+
f′(x
)∗δx
我們的目的是使得左邊的值變小，那是不是應該使得下面的式子變為負值。 f
′(x)
∗δx
這樣不就會使得左邊的式子變小嗎。
但是如何使得上式一定為負值，簡單的方法就是： δ
x=−f
′(x)
這樣上式就變為 f
(x+δ
x)=f
(x)−
f′(x
)∗f′
(x)
現在滿足使得下式變小了 f
(x+δ
x)但是不要忘了以上所有的一切只有在區域性成立，也就是說在小範圍才成立，那麼下式就有很能太大 δ
x=−f
′(x)
所以加個小的修正的因子，上式就變為： δ
x=−μ
∗f′(
x)最終得到公式： x
n+1=
xn−μ
∗f′(
xn)
這就是為什麼說梯度下降演算法是用平面擬合函式的區域性曲面。
至於說牛頓下降法是用二次曲面去擬合當前的區域性曲面，首先考慮一下下式： f
(x+δ
x)=f
(x)+
f′(x
)δx+
1/2∗
f′′(x
)∗δx
2
同樣我們希望左式最小，那麼將左式看成是△x的函式，當取合適的△x值時，左邊的式子達到極小值，此時導數為0。因此對上式進行求導數，得到一下公式： 0
=f′(
x)+f
′′(x)
∗δx
此時可得到公式： x
n+1=
xn−f
′(xn
)/f′′
(xn)
所以說牛頓下降法是用二次曲面來擬合函式的區域性曲面。
綜上而言，牛頓下降法利用了函式的更多的資訊，能夠更好的擬合區域性曲面，所以收斂的速度也會加快。
關於梯度下降演算法，其中最重要的就是要確定步長μ，它的值嚴重的影響了梯度下降演算法的表現。
接下來考慮如下公式： f
′(x+
δx)=
f′(x
)+f′′
(x)∗
δx和
δx=−μ∗f
′(x)
結合兩個式子，得到： f
′(x+
δx)=
f′(x
)−μ∗
f′′(x
)∗f′
(x)
令左邊的式子為0，得到： μ
=1/f
′′(x)
由此可見牛頓下降法是梯度下降法的最優情況，因此牛頓下降法的收斂的速度必然更快。
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