線性基入門

線性基真的是乙個非常神奇的演算法。

它可以用於求解乙個集合內的最大異或和，而且效率極高，是\(o(n\ log\ maxnum)\)的時間複雜度。

所以，它還是十分值得一學的。

什麼是線性基？

對於乙個陣列\(a_1a_2...a_n\)，我們可以用\(num_1num_2...num_\)來記錄第乙個二進位制下最高位出現在第\(i\)位的數字。

並通過這個\(num\)陣列，來求出這個陣列中的最大異或和。

關於線性基的構造，其實也是十分巧妙的。

我們先找到當前插入的數\(x\)二進位制下的最高位\(i\)，然後對此時\(num_i\)是否為\(0\)進行分類討論：

由於\(x\)的最高位肯定是遞減的，所以單次時間複雜度是\(o(log_)\)的，總複雜度是\(o(n\ log\ max(a_i))\)的。

關於如何詢問最大異或和，其實也是很簡單的。

我們從高位到低位列舉每乙個\(p_i\)，並用\(ans\)記錄答案。

對於當前\(p_i\)，我們有乙個貪心的策略：若\(ans\)

$num_i>ans$，則更新$ans$為$ans$

\(num_i\)，否則就跳過。

這樣貪心乍一看彷彿漏洞百出，實際上仔細一想還是有一定道理的。

為什麼這樣貪心一定是對的呢？

首先我們要知道乙個最簡單的性質：對於\(num_i\)，如果它不為\(0\)，則它二進位制下最高位一定是第\(i\)位。

關於這一點的證明，可以結合上文線性基的定義與構造方式，這裡就不予證明了。

則不難想到，\(ans\)^\(num_i\)後被影響到的肯定是後\(i\)位，且第\(i\)位肯定是發生變化的。

所以，如果\(ans\)^\(num_i>ans\)，我們就可以得到：原\(ans\)二進位制下第\(i\)位為\(0\)，異或後的\(ans\)二進位制下第\(i\)位為\(1\)。

由於後續操作是不會影響到第\(i\)位及前面已操作位的大小的，所以第\(i\)位肯定越大越優。

於是就可以通過貪心來求解了。

關於為什麼\(ans\)^\(num_i\le ans\)就跳過不再處理，其實也是同理的。

除了這兩個比較基礎的操作，其實線性基還是有很多用途的，如：

關於這些操作，我也只是聽說過，因此這裡就不介紹了。

以【洛谷3812】【模板】線性基這道模板題為例，貼乙份**：

#include#define n 50

#define ll long long
using namespace std;
int n;
class fio
inline void read(int &x) 
inline void read(ll &x) 
inline void write(ll x) 
}f;class class_linearbasis//線性基模板
}linearbasis;
int main()

線性基入門

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