1、線性基：
若干數的線性基是一組數a1
,a2,
...a
na1,a2,...an
，其中axax
的最高位的11
在第xx位。
通過線性基中元素xo
rxor
出的數的值域與原來的數xo
rxor
出數的值域相同。
2、線性基的構造法：
對每乙個數pp
從高位到低位掃，掃到第xx
位為11時，若ax
ax不存在，則ax
=pax=p
並結束此數的掃瞄，否則令p=
pp=p
xorxor ax
。ax。
3、查詢：
用線性基求這組數xo
rxor
出的最大值：從高往低掃ax
ax，若異或上ax
ax使答案變大，則異或。
4、判斷：
用線性基求乙個數能否被xo
rxor
出：從高到低，對該數每個是11
的位置x
x，將這個數異或上ax
ax（注意異或後這個數為1的位置和原數就不一樣了），若最終變為00
，則可被異或出。當然需要特判00
（在構造過程中看是否有p變為0即可）。例子：
(11111
,10001
)(11111,10001)
的線性基是a5
=11111
a5=11111，a
4=01110
a4=01110
，要判斷
11111
11111
能否被xor
xor出，
11111
11111 x
orxor a5
a5=0=0
，則這個數後來就沒有是11
的位置了，最終得到結果為00
，說明11111
11111能被x
orxor出。
個人談一談對線性基的理解:
很多情況下，只有有關異或運算和求最值，就可以用到線性基。線性基有很多很好的性質，比如說如果有很多個數，我們可以構出這些數的線性基，那麼這個線性基可以通過互相xo
rxor
，能夠構出原來的數可以相互xo
rxor
構出的所有的數。所以可以大大減少判斷的時間和次數。同時線性基的任何乙個非空子集都不會使得其xo
rxor
和為0，證明也很簡單，反證法就可以說明。這個性質在很多題目中可以保證演算法合法性，比如：bz
oj2460
bzoj2460。
構造的方法有點像貪心，從大到小保證高位更大。也比較好理解。就是這幾行**：?1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
for(inti=1;i<=n;i++)//選入線性基中
a[i]^=p[j];
}
}
可以把nn
個數變成只有最大的數的二進位制位數那麼多個數，這就是線性基的優秀之處。
查詢的話，也是乙個貪心思想，如果可以使得an
sans
更大，就把這一位的基xo
rxor進a
nsans。
1for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];//
從線性基中得到最大值
這就是線性基的基本用法和個人的一些理解。
模板 線性基
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