給定乙個多項式\(f(x)\) ，請求出乙個多項式\(g(x)\)，滿足\(f(x)\times g(x) \equiv 1(\mathrmx^n)\)假設我們已經求得了\(g_0(x)\)滿足\(f(x)\times g_0(x) \equiv 1(\mathrmx^\frac)\)，現在求\(f(x)\times g(x) \equiv 1(\mathrmx^n)\)。
\[\begin
f(x)\times g_0(x) &\equiv 1(\mathrmx^\frac)\\
f(x)\times g_0(x)-1 &\equiv 0(\mathrmx^\frac)\\
(f(x)\times g_0(x)-1)^2 &\equiv 0(\mathrmx^n)\\
(f(x)\times g_0(x))^2+1-2 \times f(x)\times g_0(x) &\equiv 0(\mathrmx^n)\\
f(x)^2\times g_0(x)^2+1-2 \times f(x)\times g_0(x) &\equiv 0(\mathrmx^n)\\
f(x)^2\times g_0(x)^2-2 \times f(x)\times g_0(x) &\equiv -1(\mathrmx^n)\\
2 \times f(x)\times g_0(x)-f(x)^2\times g_0(x)^2 &\equiv 1(\mathrmx^n)\\
f(x)\times(2 \times g_0(x)-f(x)\times g_0(x)^2) &\equiv 1(\mathrmx^n)
\end\]
所以我們在已知\(g_0(x)\)的前提下，只要求一下\(2 \times g_0(x)-f(x)\times g_0(x)^2)\)就可以了。
\(o(n\log n)\)
多項式求逆
你可能覺得這篇部落格很像網上的另一篇，我會告訴你我是抄的無可奉告 w 首先我們來講一些基礎的定義 多項式的度 就是這個多項式的最高次項的次數，記做deg a 對於多項式a x b x 唯一存在多項式q x r x 滿足a x b x q x r x 並且deg r deg b 那麼我們稱q x 為a...
多項式求逆
問題 求多項式 g x 滿足 f x g x equiv 1 pmod q1 這是什麼意思？a1 即 f x g x 最後只有常數項係數為 1 其餘係數都為 0 q2 為什麼要求模 x n a2 這是為了將 n 次方以上的項全都除去，否則 g x 會有無窮多項。用倍增的方法可以 o n log n ...
多項式求逆
多項式求逆指的是給定乙個多項式 f x 求出乙個多項式 g x 滿足 f x g x equiv1 pmod 我們稱乙個多項式的 度 為其最高次項係數 1 首先，我們知道當 n 1 的時候，顯然 g x 即為 f x 的常數項之逆元 我們將原式寫成模 x 意義下的形式 f x g x equiv1 ...