閒著沒事幹研究些黑科技（霧）
求 a(x)*b(x)==1(mod x^n)
其中n為a(x)，b(x)的度的較大值
已知a(x)求b(x)，b(x)=a(x)^(-1)(mod x^n)
假設n=1，則b(x)=a(x)常數項在mod p 意義下的的逆元
假設n>1
已知 a(x)*b』(x)==1(mod x^(n/2))
a(x)*b(x)==1(mod x^n) ==> a(x)*b(x)==1(mod x^(n/2))
兩式相減
a(x)*(b(x)-b』(x))==0(mod x^(n/2))
a(x)顯然不全0，否則無解
同除掉a(x)：b(x)-b』(x)==0(mod x^(n/2))
兩邊同時平方
b(x)^2-2*b(x)*b』(x)+b』(x)^2==0(mod x^n)
兩邊同乘a(x)
a(x)*b(x)==0(mod n)
所以可化為：b(x)-2*b』(x)+b』(x)^2*a(x)==0(mod x^n)
b(x)=2*b』(x)-b』(x)^2*a(x)(mod x^n)
直接上ntt就好了
從n=1一直往回推，時間複雜度o（n(logn)^2）
求 b(x)*b(x)==a(x)(mod x^n)
如果n==1，直接把a(x)中的常數項搞個二次剩餘
對於n>1
考慮 b』(x)^2==a(x)(mod x^(n/2))
同樣的思路，把第乙個式子變成 b(x)^2==a(x)(mod x^(n/2))
兩式相減 (b(x)+b』(x))*(b(x)-b』(x))==0(mod x^(n/2))
可以得到b(x)有兩個解，考慮b(x)=b』(x)(mod意義下)
b(x)-b』(x)==0(mod x^(n/2))
兩邊平方 b(x)^2-2*b(x)*b』(x)+b』(x)^2==0(mod x^n)
將b(x)^2==a(x)(mod x^n)代入
a(x)-2*b(x)*b』(x)+b』(x)^2==0(mod x^n)
b(x)=a(x)+b』(x)^2 / 2*b』(x) (mod x^n)
套多項式求逆和ntt就好了
數學 多項式 多項式求逆
多項式求逆 前置知識 ntt 給定乙個多項式 f left x right 求乙個多項式 g left x right 使得 f left x right g left x right equiv 1 left bmod 998244353 right 考慮遞迴求解。假定現在已經求出了 g 0 le...
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多項式求逆
你可能覺得這篇部落格很像網上的另一篇，我會告訴你我是抄的無可奉告 w 首先我們來講一些基礎的定義 多項式的度 就是這個多項式的最高次項的次數，記做deg a 對於多項式a x b x 唯一存在多項式q x r x 滿足a x b x q x r x 並且deg r deg b 那麼我們稱q x 為a...