Jzoj4890 隨機遊走

今天切了一道期望dp的難(shui)題，寫寫這一道更難的題

yjc最近在學習圖的有關知識。今天，他遇到了這麼乙個概念：隨機遊走。隨機遊走指每次從相鄰的點中隨機選乙個走過去，重複這樣的過程若干次。yjc很聰明，他很快就學會了怎麼跑隨機遊走。為了檢驗自己是不是歐洲人，他決定選一棵樹，每條邊邊權為1，選一對點s和t，從s開始隨機遊走，走到t就停下，看看要走多長時間。但是在走了10000000步之後，仍然沒有走到t。yjc堅信自己是歐洲人，他認為是因為他選的s和t不好，即從s走到t的期望距離太長了。於是他提出了這麼乙個問題：給一棵n個點的樹，問所有點對(i,j)(1≤i,j≤n)中，從i走到j的期望距離的最大值是多少。yjc發現他不會做了，於是他來問你這個問題的答案。

這個比今天的期望dp難多了，當時剛剛見到題直接懵逼

後來看著facico巨神的solution才漸漸搞明白了

簡單說一說

我們假設f[x]為x走到父親的期望步數，g[x]為父親走到x的期望步數，d[x]為x的度數

我們可以列出乙個方程:f[x]=1/d[x]+(1/d[x])*σ(f[x]+f[v]+1)

解釋一下，x隨機遊走有兩種情況，一種是直接走到父親，代價為1，一種是走到兒子再走到父親

讓後做化簡可以得到(1/d[x])f[x]=1+(1/d[x])*σ(f[v])

所以 f[x]=d[x]+σf[v]

讓後列出關於g[x]的方程，設p為x的父親:

g[x]=1/d[p]+(1/d[p])*σ(f[v]+g[x]+1)+(

1/d[p])*(g[p]+g[x]+1)

p遊走有三種情況，直接到x，到了v走回來再到x，到了p的父親在走回來在走到x

化簡得到g[x]=d[p]+σf[v]

+g[p]

然而我們有f,g並沒有什麼卵用

我們還需要求出期望距離最長的路徑

這個和求樹的直徑有點像（然而並不能dfs求）

我們對於每個子樹，求出f,g的最長鏈和次長鏈

我們令df[x],rf[x]表示x所有子樹v中f期望最長，次長的距離

dg[x]和rg[x]類似，是g期望最長距離

顯然，df[x]=max(df[v]+f[v]),dg=max(dg[v]+g[v])

那麼最後統計經過x的期望最長路徑時就可以那dg和df加起來（如果同屬於乙個子樹那就拿次長）

(z注意，本題期望沒有要求取模，因為有一點是顯然的，期望步數肯定是個整數!)

#include
#include
#define n 100010
using
namespace
std;
struct edge g[n*2];
long
long s[n],f[n],g[n],df[n],dg[n],rf[n],rg[n],ans=0;
int vf[n],vg[n],h[n],d[n],n,c=0;
inline
void adj(int x,int y); h[x]=c;
}void dfs(int x,int p)
f[x]=s[x]+d[x];
}void dgs(int x,int p)
}void dijk(int x,int p) else
if(f[v]+df[v]>rf[x]) rf[x]=f[v]+df[v];
if(g[v]+dg[v]>dg[x]) else
if(g[v]+dg[v]>rg[x]) rg[x]=g[v]+dg[v];
}	if(vf[x]!=vg[x]) ans=max(ans,df[x]+dg[x]);
else ans=max(ans,max(df[x]+rg[x],dg[x]+rf[x]));
}int main()
dfs(1,0); 
dgs(1,0); 
dijk(1,0);
printf("%lld.00000\n",ans);
}

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初識隨機遊走

064 隨機遊走

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