遊戲開發中的矩陣初探

（1）長方體a想繞（10，3，4）旋轉50°且沿著x方向放大2倍且向（9，-1，8）方向平移2個單位，那麼經過上面的變換後，新的長方體各個點的座標是多少呢？應用矩陣可以很輕鬆的算出答案。

（2）知道子座標繫在父座標系中的位置，可以求出子座標系中的店在父座標系中的位置。

矩陣能描述任意線性變換。線性變換保留了直線和平行線，線性變換保留直線的同時，其他的幾何性質如長度、角度、面積和體積可能被變換改變了。簡單的說，線性變換可能「拉伸」座標系，但不會「彎曲」或「捲摺」座標系。

（1）平移

以下矩陣能把一點向t向量方向平移：

（2）旋轉

正方向為從旋轉軸正向看過去的逆時針方向，比如繞z軸[0,0,1]旋轉，正方向為x至y軸方向

知道了繞著三軸後的旋轉矩陣，那麼下面就是繞任意向量所得的矩陣了。設m為單位矩陣經向量a旋轉後的矩陣，且a= (xa, ya, za)，旋轉角度為α，則

不要問為什麼，記住即可。

（3）縮放

縮放點為r，x軸縮放sx，y軸縮放sy，z軸縮放sz，則新座標為：

（4）綜合

比如要把座標系中的所有點平移[2,3,4](x軸平移2，y軸平移3，z軸平移4)

，繞z軸旋轉90°

,x,y,z軸都放大2倍

，則得到的變換矩陣為

注意：縮放不是只把sx，sy，sz位置相乘，而是那一軸的模為縮放值

最後所得的變換矩陣

不等於相乘把點或方向從任何子座標系c變換至父座標系p的矩陣，可寫作mc-p。此矩陣表示把點或方向從子空間變換至父空間。以下等式把任何子空間位置向量pc變換至父空間位置向量pp，pp = pcmc-p

mc-p =

opengl超級寶典第四版p101頁說：如果乙個4×4矩陣包含了乙個不同的座標系統的位置和方向（可以看成上面的mc-p），那麼，把乙個頂點pp與這個矩陣相乘，其結果就是乙個變換到該座標系統的新頂點pc（座標還是相對於原座標系）。這看起來像公式pc

=pp mc-p ，錯錯錯！這用pp完全是個誤導，把pp改名字叫a，座標v，由於是線性變換，所以在新座標系統中a的座標還是v，所以這就與pp = pcmc-p 一致了，pp為a在新座標系統中v在原座標系中的座標。

opengl中矩陣的變換是疊加的，每做一次矩陣變換，就把零點移到新的座標系中。下次變換只影響當前座標系及其子座標系，不會影響其父座標系。載入單位矩陣是將零點重新置為最初的零點。

單純的矩陣運算不會移動零點位置，所以與單位矩陣相乘沒有任何效果。

1.opengl超級寶典第四版p101

2.遊戲引擎架構p151

3. opengl中glrotatef()函式究竟對矩陣做了什麼

4.3d數學 ---- 矩陣的幾何解釋 - 天行健君子當自強而不息 - c++部落格