決策單調性優化DP學習筆記

廢話，當然是在dp式子滿足某些性質的時候來優化複雜度……

對於\(j\)往大於\(j\)的\(i\)轉移，可以表示成乙個關於\(i\)的函式\(f_j(i)\)，也就是\(dp_i=\max/\min\\)。

若是取\(\max\)，並且在某乙個地方\(f_j(i)\)從下面跑到了\(f_k(i)\)的上面（如果加入\(f_j(i)\)這個函式時本來就在\(f_k(i)\)的上面那麼不算），就稱之為\(j\)取代了\(k\)。取\(\min\)同理。

如果滿足決策單調性，那麼必須滿足：對於任意\(i,j\in [1,n]\)，\(f_j(x)\)與\(f_i(x)\)沒有交點或是只有乙個交點，也就是\(i\)和\(j\)最多取代一次。

狹義的決策單調性是指對於\(i和他們的決策點\(p_i,p_j\)，會有\(p_i。也就是說，對於\(j，就只能有\(k\)取代\(j\)。

廣義的決策單調性指只要乙個題中取代關係唯一（只有大取代小或小取代大），那麼都可以做。

顯然，狹義決策單調性也被包含在廣義決策單調性內。

顯然，狹義和廣義是我自己編出來的。可能是民科行為，但只是為了寫著簡單，所以求不噴。

簡單易懂，適合\(dp_i=\max/\min\\}\)這種與\(dp_j\)無關的遞推式。

考慮乙個類似整體二分的做法：設\(solve(l,r,l,r)\)表示已知\([l,r]\)全部由\([l,r]\)轉移而來，求出\(dp[l,r]\)。

每次設\(mid=(l+r)/2\)，然後暴力掃\([l,r]\)，找到\(mid\)的決策點\(p\)，然後分治\(solve(l,mid-1,l,p)\)，\(solve(mid+1,r,p,r)\)。

複雜度：會做\(\log n\)層，每層的\(\sum(r-l+r-l)\)都是\(o(n)\)的，所以總複雜度\(n\log n\)。

優點：當\(w_\)不能\(o(1)\)或\(o(\log n)\)計算時用暴力掃的方式或許可以做出來，比如區間逆序對等。

缺點：轉移不按順序，所以遞推式必須與\(dp_j\)無關。如果有關，那麼需要強套乙個 cdq 分治上去，會多乙個 \(\log\) 。

注意：如果做的時候還掃了\([r,l]\)，那麼複雜度分析就會掛！

適合\(dp_i=\max/\min\\}\)的遞推式，要求\(w_\)可以快速求出。

狹義決策單調性保證了比較靠前的決策點被取代後就可以被忽略了，所以可以維護乙個佇列，隊首是當前最優的決策點，隊尾是後面加入、還有潛力取代前面的決策點。（記\(q[l]\)為隊首，\(q[r]\)為隊尾）

每次考慮\(q[l]\)和\(q[l+1]\)，如果\(q[l]\)沒那麼優，那麼就把它彈掉。

加入當前點的時候，就要搞一些事情了。

如果什麼都不管直接加入，那麼會出現這樣的尷尬情況：\(q[l]\)優於\(q[l+1]\)，但\(q[l]\)劣於\(q[l+2]\)。

如何避免呢？使用上面\(f_j(x)\)函式數形結合的思想，如果加入這個點\(i\)後\(q[r]\)潛力就沒了，也就是\(i\)取代\(q[r-1]\)比\(q[r]\)取代\(q[r-1]\)還快，那麼就把\(q[r]\)彈掉。這樣一來，上面的\(q[l+1]\)根本就不會出現在佇列裡面。

至於判斷在**會取代，那就要二分那個位置了。

複雜度：顯然\(o(n\log n)\)。

優點：轉移按順序。

缺點：要求\(w_\)可以快速求出。

大取代小的時候上面已經講過，不再贅述。

現在是小取代大，比如\(f_2(i)\)一直默默無聞，而\(f_4(i)\)一直是統治地位，突然在\(i=10\)的時候2把4取代了。

這種時候，就不能再用單調佇列，而是要用單調棧了。當棧頂沒有下面的函式優的時候就彈棧。壓入當前函式時若\(st[top-1]\)取代\(i\)比\(st[top]\)還快就彈棧。

本質上其實和單調佇列差別不大，也是要二分，也是要求\(w_\)能快速求出，複雜度也是\(o(n\log n)\)。

不過小取代大這種情況只有這一種做法，所以就沒有優缺點一說了。

講了這麼多做法，還沒有講怎麼判斷這一性質。

一般來說應該是先寫出dp式子，各種優化方法試一遍都不行，那就嘗試嚴謹或感性證明。

如果實在不會證，那可能可以打表猜結論。猜中了當然好，但如果隨機資料都過了，而結論其實是假的，那……

那你就要祈禱出題人用的就是隨機資料。

一般來說我傾向於隨機資料猜結論。

有一種簡單的判斷決策單調性的方法（但只能適用於某些性質更好的 \(w\) ）：考慮 \(r\) 變大的時候對 \(l\) 的影響，比如區間逆序對的時候對 \(l_1\) 的影響肯定是不小於 \(l_2>l_1\) 的。