決策單調性胡扯筆記

2019 年，第一屆 csp 認證的考場上，作為選手的asuldb開啟了第二題。經過一番觀察，他認為這道題存在決策單調性，於是開始亂寫最終發現過不了樣例。

最終asuldb對該題設計出了乙個暴力程式，對於一組規模為\(u\)的資料，該程式的執行時間極有可能是\(u^2\)，之後又由於asuldb寫錯了輸出，他只獲得了60pts的好成績。

之後他得知這道題只是乙個普通的單調佇列優化，於是他自閉了。

於是自閉的asuldb前幾天決定來學一學決策單調性，看看決策單調性到底是個什麼東西

大致可以分成兩種策略

一、分治

主要用於優化滿足決策點單調，且同一層dp值無關的問題，即\(dp_i=\max_+w_\leq w_+w_\)那麼就會存在決策點單調可以使用分治的策略優化

具體的分治方法就是我們對於乙個區間\([l,r]\)我們取其中點\(mid\)在相應的決策點區間\([x,y]\)找到最優的決策點\(k\)，那麼\([l,mid-1]\)的可能決策點區間就是\([x,k]\)，\([mid+1,y]\)的可能決策點區間就是\([k,y]\)；分治這兩個區間就好了，複雜度顯示是\(o(n\log n)\)的

一道經典的例題cf868f

首先來證明一下為什麼會滿足四邊形不等式，我們找到一組\(a\leq b\leq c\)，使得\(d\)從\(c\)開始遞增，對於\(w_+w_\)，\(d\)每增加\(1\)產生的貢獻是\([b,c],[a,d-1]\)裡和\(d\)相同的數的個數；這個數顯然要少於\([a,c],[b,d-1]\)裡和\(d\)相同的個數，於是有決策單調性，我們可以使用分治的策略解決這個問題

#include#define re register
#define ll long long
const int maxn=1e5+5;
inline int read() 
int n,m,l,r,a[maxn],tax[maxn];
ll g[maxn],dp[maxn],nw;
inline void add(int c,int v) 
inline ll calc(int l,int r) =\max_dp_+a_i(s_i-s_j+1)^2\)，其中\(s_i=\sum_^i[a_j=a_i]\)
我們思考一下其中的決策單調性，對於\(i\)這個位置，如果存在\(j,k,j這樣的兩個轉移，這個時候\(j\)轉移已經要優於\(k\)轉移了，那麼對於比\(i\)更大的位置，\(j\)轉移還是要優於\(k\)，因為\(j\)的增長速度要快於\(k\)
於是我們可以維護乙個儲存決策點的棧，設\(f(j,k)\)表示決策\(j\)最早在什麼時候好於決策\(k\)，這個可以在乙個\(\log\)時間內二分求出，那麼這個棧中任意三個連續元素\(j,k,l\)肯定會滿足\(f(j,k)>f(k,l)\)；否則\(k\)這個決策點就太沒用了，在\(k\)比\(l\)優的時候已經有乙個比\(k\)更優的了，這樣\(k\)永遠也不會是最優決策了，對於這樣的\(k\)我們不應該留在棧中
於是這道題我們對於每一種顏色維護乙個單調棧就好了，複雜度\(o(n\log n)\)
#include#define re register
#define ll long long
#define lst(x) stk[x][stk[x].size()-1]
#define lst(x) stk[x][stk[x].size()-2]
inline int read() 
const int maxn=1e5+5;
int a[maxn],p[maxn],tax[10005],n;
ll dp[maxn];
std::vectorstk[10005];
inline ll trans(int x,int c) 
inline int chk(int a,int b) 
return nw;
}int main() 
printf("%lld\n",dp[n]);return 0;
}

決策單調性胡扯筆記

決策單調性

決策單調性優化DP 分治優化決策單調性

決策單調性優化DP學習筆記

決策單調性胡扯筆記

決策單調性

決策單調性優化DP 分治優化決策單調性

決策單調性優化DP學習筆記

相關推薦