常見普通型生成函式
常見指數型生成函式
自然數冪和
求數列$k$次方和
形如$f(x)=\sum_^f_ix^i$：
$$\begin
&<1,0,0,\cdots>[i==0]&1\\
&<1,1,1,\cdots>1&\frac\\
&<1,2,3,\cdots>i&\frac\\
&<1,-1,1,-1,\cdots>(-1)^i&\frac\\
&<0,1,\frac,\frac,\cdots>\frac(0\frac&e^x\\
&<1,a,a^2,a^3,\cdots>a^i&\frac\\
&<\binom,\binom,\binom,\cdots>\binom&(1+x)^n\\
&<\binom,\binom,\binom,\cdots>\binom&\frac\\
&<0,a,\frac,\frac,\cdots>\frac(0形如$f(x)=\sum_^\fracx^i$：
$$\begin
&<1,1,1,\cdots>1&e^x\\
&<0,1,2,3,\cdots>i&xe^x\\
&<1,a,a^2,a^3,\cdots>a^i&e^\\
&<1,a,a^},a^},\cdots>a^}&(1+x)^a\\
&<0,1,0,-1,0,1,0,-1,\cdots>[2\nmid i](-1)^}&\sin(x)\\
&<1,0,-1,0,1,0,-1,0,\cdots>[2|i](-1)^}&\cos(x)\\
\end$$
伯努利數
給定數列$a$，對於任一$1 \leqslant k \leqslant m$求$\sum_^na_i^k$
考慮其生成函式，則有：$$\beginf(x)&=\sum_^\sum_^na_i^jx^j\\&=\sum_^n\sum_^(a_ix)^j\\&=\sum_^n\frac\\&=\sum_^n1+\frac\\&=n-x\sum_^n\frac\\&=n-x\sum_^n\ln'(1-a_ix)\\&=n-x\ln'(\prod_^n(1-a_ix))\end$$
$\prod_^n(1-a_ix)$分治fft即可
$o(n\log^2n)$
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