斯坦納樹問題是組合優化問題，與最小生成樹相似，是最短網路的一種。最小生成樹是在給定的點集和邊中尋求最短網路使所有點連通。而最小斯坦納樹允許在給定點外增加額外的點，使生成的最短網路開銷最小。
可以這麼理解：乙個圖的生成樹是構造一棵樹把所有點給聯通，而斯坦納樹則是構造一棵樹把給定的幾個點聯通。如同生成樹有最小的一棵，斯坦納樹也有最小的。如何求最小斯坦納樹，是我們今天要**的話題。
求最小斯坦納樹，我們使用的是狀壓dp。
首先非常顯然的是，這個選出來的子圖 \(g'\) 一定是個樹。
令 \(f_\) 表示當前這個樹的根為 \(i\)，選出的點的集合為 \(s\)（注意這裡選出的點專指那 \(k\) 個點中的點），這裡的 \(s\) 在 dp 中是被狀壓的。
\[f_ = f_ + f_ \ \ \ (t \subseteq s)
\]這種轉移方式意義在於把乙個根可能會連出多棵 \(s\) 互不相交的樹，該方程可以合併它們。此時這個根的度數 \(\geq 1\)。以下是乙個示意圖，其中 \(5,6,7\) 三個點屬於目標的那 \(k\) 個點，\(3\) 是目前的 \(i\)。
\]這種轉移方式意義在於把乙個根的狀態轉移到與他相鄰的乙個根上。此時根 \(i\) 的度數 \(=1\)。示意圖如下，其中 \(i = 1，j=3\)，\(s=\\)，橙色虛線代表待擴充套件的邊 \((i,j)\)。
考慮 dp 順序，顯然 \(s\) 從小到大列舉即可。
對於第一種轉移方式，只需列舉 \(s\) 的子集 \(t\)。對於第二種轉移方式，注意到這玩意兒是個三角不等式，聯想到最短路也是如此——沒錯，用最短路跑一遍就行了。
int n, m, k, f[maxn][1 << maxk];
struct edge
edge[maxm * 2];
int head[maxn], edge_num;
void add_edge(int from, int to, int dis)
queue q; int dist[maxn]; bool inq[maxn];
void spfa(int s)
while(q.size()) }}
}for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i][s] = dist[i];
}int main()
memset(f, 63, sizeof(f));
for(int i = 1; i <= k; ++i)
for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i][0] = 0;
for(int s = 0; s < (1 << k); ++s)
int ans = 2e9;
for(int i = 1; i <= n; ++i) ans = min(ans, f[i][(1 << k) - 1]);
cout << ans << endl;
return 0;
}
需要注意的是，由於這道題從邊權變成了點權，因此需要把第一種轉移方式改成
\[f_ = f_ + f_ - w_i\ \ \ (t \subseteq s)
\]原因顯然，因為合併狀態時 \(i\) 的點權被算了兩次，需要減去一次。
另外，這道題需要輸出方案。乙個解決方法是記錄前驅、回溯解決。怎麼 dp 過來，就怎麼找回去，如果某個狀態和上個狀態滿足 dp 方程，說明這個狀態是從上個狀態轉移過來的，從而可以計算出哪些點是選了的。具體請參見**的 dfs 部分。
**：
int w, h, n, cnt, root, val[maxn], dp[maxn][1 << maxk], pre[maxn][1 << maxk];
struct edge
edge[maxm];
int head[maxn], edge_num;
inline void add_edge(int from, int to)
inline int f(int i, int j)
queue q; bool inq[maxn];
void spfa(int s) }}
}bool ans[maxn], vis[maxn][1 << maxk];
void dfs(int u, int s)
int main()
memset(dp, 63, sizeof(dp));
for(rg int i = 1; i <= n; ++i)
for(rg int s = 0; s < (1 << cnt); ++s)
dfs(root, (1 << cnt) - 1);
cout << dp[root][(1 << cnt) - 1] << endl;
for(rg int i = 1; i <= w; ++i)
printf("\n");
}return 0;
}
最小斯坦納樹
給定乙個包含 n 個點和 m 條邊的無向聯通圖 g v,e 再給定包含 k 個結點的點集 s 選出 g 的子圖 g v e 使得 s subseteq v g 為連通圖 e 中所有邊的邊權和最小。由於要求邊權和最小，我們最後得到的一定是一棵樹，我們稱之為最小斯坦納樹。一般情況下 s 的元素個數都非常...
最小斯坦納樹
給定乙個包含 n 個結點和 m 條帶權邊的無向連通圖 g v,e 再給定包含 k 個結點的點集 s 選出 g 的子圖 g v e 使得 s subseteq v g 為連通圖 e 中所有邊的權值和最小。你只需要求出 e 中所有邊的權值和。dp i s 表示 以 i 為根的一棵樹，包含集合 s 中所有...
模板 斯坦納樹
include int main 斯坦納樹 time limit 1 sec memory limit 128 mb description 現在有乙個n m的矩陣,某些元素為0,剩下的元素大於0.現在你要選擇一些元素,使得任意兩個為0的元素都能夠通過選中的元素四連通.注意,若想達到要求,所有的0自...