樹狀陣列 講解

樹狀陣列(binary indexed tree(b.i.t))

是乙個查詢和修改複雜度都為log(n)的資料結構。主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和，但是每次只能修改乙個元素的值；經過簡單修改可以在log(n)的複雜度下進行範圍修改，但是這時只

請看下圖：

我們令每個葉節點代表每乙個元素。

現在我們變形一下，順便加上陣列的編號：

a陣列是原資料。

b陣列的節點，代表其所有子節點之和。

b[1] = a[1]

b[2] = a[1] + a[2]

b[3] = a[3]

b[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] 

b[5] = a[5]

b[6] = a[5] + a[6]

b[7] = a[7]

b[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8] 

這時，我們再把b陣列轉化成二進位制編碼：

可以發現：

1=(001)      b[1] = a[1]

2=(010)      b[2] = a[1] + a[2]

3=(011)      b[3] = a[3]

4=(100)      b[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]

5=(101)      b[5] = a[5]

6=(110)      b[6] = a[5] + a[6]

7=(111)      b[7] = a[7]

8=(1000)    b[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8] 

對照式子可以發現b[i] = a[i-2^k+1] + a[i-2^k+2] + ......a[i]（k為i的二進位制中從最低位到高位連續零的長度）例如i=8時，k=3，i=7時，k=0，i=2時，k=1。

由此我們引出了lowbit函式：

lowbit(i) = 2^k

b[i] = a[i-lowbit(i)+1] + a[i-lowbit(i)

+2] + ......a[i]

1

int lowbit(intx)2

接著是修改函式：

1 void add(int k, int

num)
28 }

舉個栗子：

比如我們要修改1位置的值。與之有關的是b[1] b[2] b[4] b[8]。

第一次 k = 1，bit[1] += num後，lowbit(1) = 1，k+=1;

第二次 k = 2，bit[2] += num後，lowbit(2) = 2，k+=2;

第三次 k = 4，bit[4] += num後，lowbit(4) = 4，k+=4;

第四次 k = 8，bit[8] += num後，lowbit(8) = 8;

another：

修改3位置的值。與之有關的是b[3] b[4] b[8]。

第一次 k = 3，bit[3] += num後，lowbit(3) = 1，k+=1;

第二次 k = 4，bit[4] += num後，lowbit(4) = 4，k+=4;

第三次 k = 8，bit[8] +=num後， lowbit(8) = 8;

最後是查詢操作：

在這裡，我們反著來做

1

int query(intk)2
9return
sum;
10 }

這裡你會想，我們的查詢函式是查詢從 1——k 的值的和，要是查詢乙個區間 l——r（包含 l 和 r 的值） 的話怎麼辦？

我們利用字首和的思想，查詢 l——r 就等於query(r) - query(l-1)。

所以，luogu p3374 樹狀陣列的模板1，就解決啦~

1 #include2 #include3 #include4

using
namespace
std;
5int
n,m;
6int bit[500070],a[500070];7
int lowbit(intx)8
11void add(int k, int
num)
1218}19
int query(int
k)20
27return
sum;28}
29int
main()
3037
38for(int i=1;i<=m;i++)
3948
else
49if(c == 2
) 5055}
56return0;
57 }

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