最長上公升子串行問題

描述乙個數的序列bi，當b1 
< b2 < ... < bs的時候，我們稱這個序列是上公升的。對於給定的乙個序列(a1, a2, ..., an)，我們可以得到一些上公升的子串行(ai1, ai2, ..., aik)，這裡1 <= i1 < i2 < ... < ik <=n。
比如，對於序列(
1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上公升子串行，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。這些子串行中最長的長度是4，比如子串行(1, 3, 5, 8
).你的任務，就是對於給定的序列，求出最長上公升子串行的長度。輸入輸入的第一行是序列的長度n (
1<= n <= 1000
)。第二行給出序列中的n個整數，這些整數的取值範圍都在0到10000。輸出最長上公升子串行的長度。樣例輸入717
3594
8樣例輸出
4**northeastern europe 
2002, far-eastern subregion 比賽試題

首先我們來定義下狀態 dp[i]：以ai為末尾的最長上公升子串行的長度

狀態轉移方程：dp[i] = 的最長上公升子串行。

為了方便起見，我們定義d(i) (i∈[1,n])來表示前i個數以a[i]結尾的最長上公升子串行長度。

前1個數 d(1)=1子串行為2

前2個數 7前面有2小於7 d(2)=d(1)+1=2 子串行為2 7前3個數在1前面沒有比1更小的，1自身組成長度為1的子串行 d(3)=1子串行為1

前4個數 5前面有2小於5 d(4)=d(1)+1=2 子串行為2 5前5個數 6前面有2 5小於6 d(5)=d(4)+1=3 子串行為2 5 6前6個數 4前面有2小於4 d(6)=d(1)+1=2 子串行為2 4前7個數 3前面有2小於3 d(3)=d(1)+1=2 子串行為2 3前8個數 8前面有2 5 6小於8 d(8)=d(5)+1=4 子串行為2 5 6 8前9個數 9前面有2 5 6 8小於9 d(9)=d(8)+1=5 子串行為2 5 6 8 9d(i)=max 我們可以看出這9個數的lis為d(9)=5

核心**：

void

solve() res =max(res, dp[i])；

}printf(

"%d\n

", res);

}

對狀態的定義只有一種嗎？當然不是

我們可以用完全不同的視角定義這個問題

狀態 dp[i]：長度為i+1的上公升子串行中末尾元素的最小值(不存在的話就是inf)

狀態轉移方程：dp[i] =

我們再舉乙個例子：有以下序列a=，求lis長度。

我們定義乙個b[i]來儲存可能的排序序列，len為lis長度。我們依次把a[i]有序地放進b[i]裡。（為了方便，這時i的範圍就從1~n表示第i個數）

a[1]=3，把3放進dp[1]，此時dp[1]=3，此時len=1，最小末尾是3

a[2]=1，因為1比3小，所以可以把dp[1]中的3替換為1，此時b[1]=1，此時len=1，最小末尾是1

a[3]=2，2大於1，就把2放進dp[2]=2，此時b=，len=2同理，a[4]=6，把6放進dp[3]=6，b=，len=3a[5]=4，4在2和6之間，比6小，可以把dp[3]替換為4，b=，len=3a[6]=5，dp[4]=5，dp=，len=4a[7]=10，dp[5]=10，b=，len=5a[8]=7，7在5和10之間，比10小，可以把dp[5]替換為7，b=，len=5

核心**( o(n2) )：

void

solve()

}}

優化後的**( o(nlogn) )：

void

solve()

printf(

"%d\n

", 1ower_bound(dp, dp+n, inf) -dp);

}

附：

lower_bound( )和upper_bound( )都是利用二分查詢的方法在乙個排好序的陣列中進行查詢的。

lower_bound()：返回的是被查序列中第乙個大於等於查詢值的指標

upper_bound()：返回的是被查序列中第乙個大於查詢值得指標

最長上公升子串行問題

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問題 A 最長上公升子串行

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