懶人的福利 教你用set維護斜率優化凸包

2022-05-02 02:15:13 字數 3195 閱讀 3703

斜率優化題目大家肯定都做得不少了，有一些題目查詢插入點的x座標和查詢斜率都不單調，這樣就需要維護動態凸包並二分斜率。(例如bzoj1492)

常規的做法是cdq分治或手寫平衡樹維護凸包，然而如果我不願意寫分治，也懶得打平衡樹，怎麼辦呢？

沒關係，今天我告訴你怎麼用乙個set維護這種凸包。

首先orzlh，沒什麼特殊意義，只是單純的orz。

我們定義f[i]表示在第i天能擁有的金券組數，按照第i天的比例。

那麼，我們要把前面的金券在今天賣出獲得最多的錢，並在今天進行**。

所以，f[i]=max((f[j]*a[i]+f[j]/rate[j]*b[i])/(a[i]+rate[i]*b[i]))。

除下去的東西是乙個常數，扔掉。

然後我們就有:

t=max(a[i]*(f[j])+b[i]*(f[j]/rate[j]))。

如果我們把f[j]看做x，f[j]/rate[j]看做y，我們有:

t=a*x+b*y，兩邊同時除以b，得到:

t/b=(a/b)x+y

y=(t/b)-(a/b)*x

好的，現在我們有一條斜率為-(a/b)的直線，要找乙個點使之截距最大。

這樣我們維護乙個右上1/4凸殼即可。

怎麼維護?

我們考慮不用斜率優化，單純水平序維護凸包，那麼點是按照x座標單增在平衡樹上排列的。

現在我們在每個點維護他與後面點連線斜率，我們會發現:這個斜率是單降的。

所以，我們可以通過適當地轉換cmp函式，來通過乙個set完成兩種比較。

我們定義:

1


int cmp; //


0 compare x , 1 compare slope .


2struct


point 


8     friend point operator - (const point &a,const point &b) ;10}


11     friend double


operator * (const point &a,const point &b) 


14     inline double calc(double a,double b) const


17};


18set


st;
插入就是正常凸包插入，最後再維護一下斜率就行了。注意彈出左邊後迭代器會失效，所以需要重新lower_bound一下。(可能原來你的迭代器是原來的end，結果彈出左邊後end改變了，兩個end不同，然後你去彈出右邊，訪問無效迭代器，就直接re了)

1 inline void pop_right(set


::iterator nxt,const point &p) 9}


10 inline void pop_left(set


::iterator prv,const point &p) 17}


18 inline void insert(const point &p) 


31     nxt = lst , ++nxt;


32if(nxt!=st.end())  else


41 }
查詢的話就更改一下比較函式，然後特判一下邊界防止re就好。

1 inline double query(const


intid) ); //


it can't be st.end() if st isn't empty .


5if( it==st.end() ) return0;


6double ret = it->calc(a[id],b[id]);


7if( it !=st.begin() ) 


11return


ret;


12 }
所以整體**:

bzoj1492:

1 #include2 #include3 #include


4 #include5


using


namespace


std;


6const


int maxn=1e5+1e2;78


int cmp; //


0 compare x , 1 compare slope .


9struct


point 


15     friend point operator - (const point &a,const point &b) ;17}


18     friend double


operator * (const point &a,const point &b) 


21     inline double calc(double a,double b) const


24};


25set


st;26


double


a[maxn],b[maxn],rate[maxn],f[maxn],ans;


2728 inline void pop_right(set


::iterator nxt,const point &p) 36}


37 inline void pop_left(set


::iterator prv,const point &p) 44}


45 inline void insert(const point &p) 


58     nxt = lst , ++nxt;


59if(nxt!=st.end())  else68}


69 inline double query(const


intid) ); //


it can't be st.end() if st isn't empty .


73if( it==st.end() ) return0;


74double ret = it->calc(a[id],b[id]);


75if( it !=st.begin() ) 


79return


ret;80}


8182


intmain() );90}


91     printf("


%0.3lf\n


",ans);


92return0;


93 }
view code

不得不說stl的set跑的還是挺快的。

這裡是回檔後的世界，無論你做什麼，你都一定會這樣做。

而我努力改變命運，只是為了防止那一切重現。

(來自某中二病晚期患者(不))

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