題面：
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lc出去浪,發現了一大堆鑽石,可是鑽石在有規律地消失,lc想知道最後剩下鑽石的價值。
給出p-1堆鑽石,第i堆鑽石含有i+1個不同的鑽石.第i堆鑽石有1/(i*(i+1))的概率不消失,每個鑽石不消失的概率為1/2,.第i堆每個鑽石權值為2^(i+1),求最後獲得價值的期望。
lc很認真所以,他想知道精確答案,即在膜(orz lc)p意義下的結果。而且他經常去浪,所以會有多組資料。
第一行包含乙個整數t，表示資料組數。接下來t組資料。
每組資料只有一行乙個數,表示p。
共t行,每行輸出在模p意義下的期望。
p為奇素數,且p<=4e7。
hzoi 2017
題意：求：$\sum_^\sum_^\frac\cdot j\cdot 2^}} $
$property\quad one:$
$\forall i\in [1,p-1],i\in z,(p-1)^} \equiv (-1)^\cdot (i-1)! \pmod$
$property\quad two:$
$\dbinom\equiv(-1)^ \pmod$
$property\quad three:$
$\forall i\in [1,\frac],i\in z,\dbinom\equiv -1 \pmod$
$property\quad four$
$\dbinom\cdot j=\frac\cdot j=\dbinom\cdot i $
$\quad \sum_^\sum_^\frac\cdot j\cdot 2^}} $
$=\sum_^\sum_^\frac\cdot (i+1)} $
$=\sum_^\sum_^\frac}$
$=\sum_^\frac}$
$\equiv \sum_^2^\cdot i^ \pmod$
到這裡可以用快速冪$o(tnlogn)$拿到$45$分
$\quad 2^\cdot i^ $
$=(-1)^\cdot 2^\cdot \dbinom\cdot i^ $
$=(-1)^\cdot 2^\cdot \frac\cdot \dbinom\cdot i^$
$=\frac}\cdot 2^\cdot \dbinom\cdot i^$
$\equiv -\frac\cdot (-2)^\cdot \dbinom \quad \pmod$
$\quad \sum_^2^\cdot i^$
$=-\frac(\sum_^(-2)^\cdot \dbinom-1+2^)$
$=-\frac(2^-1+(1-2)^)$
$=-\frac(2^-2)$
$\quad \sum_^}i^ $
$=-\sum_^}\dbinom\cdot i^ $
$=-\frac\sum_^}\dbinom\cdot i^ $
$\equiv -\frac\sum_^}\dbinom \pmod$
$\equiv -\frac(2^-2) \pmod$
$\equiv \sum_^2^\cdot i^ \pmod$
$ans=\sum_^}i^$
$o(\frac) $預處理每個$i$的逆元,然後求字首和就可以了
時間複雜度$o(tn)$
(ps:這個題和期望沒有半點關係)
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