Splay和LCT的複雜度分析

不論插入，刪除還是訪問，我們可以發現它們的複雜度都和$splay$操作的複雜度同階，只是一點常數的區別

我們不妨假設有$n$個點的$splay$，進行了$m$次$splay$操作

採用勢能分析

我們記$w(x) = \left \lceil \log_2 (size(x)) \right \rceil$，注意以$2$為底和上取整

我們定義勢能函式為$\varphi = \sum w(x)$

（記第$i$次操作操作完之後，勢能為$\varphi(i)$）

只需要估計出$\varphi(m) - \varphi(m - 1) + \varphi(m - 1) - \varphi(m - 2) ... + \varphi(1) - \varphi(0) + \varphi(0)$的大小即可

（即初始勢能和每次的勢能變化量的和）

顯然，$\varphi(0) \leqslant n \log n$

$splay$操作的具體定義為：

如果父節點是根，那麼旋轉一次

如果父節點和爺節點所處子樹方向一致，那麼先旋轉父親再旋**己

否則，旋轉兩次自己

實際上可以歸結於$zig$，$zag$，$zig-zig$，$zag-zag$，$zig-zag$，$zag-zig$操作

由於$zig$和$zag$是對稱的操作

因此，只需要對$zig$，$zig-zig$，$zig-zag$操作分析複雜度即可

勢能的變化量為$1 + w'(x) + w'(fa) - w(x) - w(fa) \leq 1 + w'(fa) - w(x) \leq 1 + w'(x) - w(x)$

勢能變化量為$1 + w'(x) + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) - w(g)$（縮小了常數的影響，但不能無視）

$\leq 1 + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) \leq 1 + w'(x) + w'(g) - 2w(x)$

這是神仙複雜度證明中非常神奇的地方，通過一些有趣的性質，讓常數項的代價合併到了勢能的變化中

我們不妨設$a = w'(g), b = w(x)$，那麼注意到$w'(x) = a + b + 1$

由於$2w'(x) - w'(g) - w(x) = \left \lceil \log_2 (a + b + 1) \right \rceil - \left \lceil \log_2 a \right \rceil + \left \lceil \log_2 a + b + 1 \right \rceil - \left \lceil \log_2 b \right \rceil $

注意到$a, b$在上式中是對稱的，不妨設$a \geq b$

$\geq \left \lceil \log_2 (a + b + 1) \right \rceil - \left \lceil \log_2 b \right \rceil \geq \left \lceil \log_2 (2b + 1) \right \rceil - \left \lceil \log_2 b \right \rceil \geq \left \lceil \log_2 b \right \rceil + 1 - \left \lceil \log_2 b \right \rceil \geq 1$

因此有$1 \leq 2w'(x) - w'(g) - w(x)$，我們將$1 + w'(x) + w'(g) - 2w(x)$中的$1$放縮，可以得到

勢能變化量為$1 + w'(x) + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) - w(g) \leq 1 + w'(fa) + w'(g) - w(x) - w(fa) \leq 1 + w'(g) + w'(fa) - 2w(x)$

由上文的結論，我們知道這裡可以把$1$放縮成$1 \leq 2w'(x) - w'(g) - w'(fa)$

因此$\leq 2(w'(x) - w(x))$

把以上三種操作的勢能全部放縮為$\leq 3(w'(x) - w(x))$

不妨假設$splay$一次，依次訪問了點$x_1, x_2 ... x_n$，最後$x_1$會成為新的根

那麼，最後的勢能實際上是$3(w'(x_1) - w(x_1) + w''(x_1) - w'(x_1) + .... + w(n) - w^(x_1)) + 1 = 3 * (w(n) - w(x_1)) + 1\leq log_2 n$

因此，$\varphi(m) - \varphi(m - 1) + \varphi(m - 1) - \varphi(m - 2) ... + \varphi(1) - \varphi(0) + \varphi(0) = n \log n + m \log n$

即$n$個點的$splay$，做$m$次$splay$操作，複雜度為$o(n \log n + m \log n)$

不咕了....

$lct$的所有操作可以看做只有$access$操作，其他都是常數

那麼$access$操作一共有兩部分

首先是在$splay$中走的複雜度

定義$w(x) = \left \lceil \log_2 (size(x)) \right \rceil$，$size(x)$指$x$的所有虛邊和實邊的子樹大小的和

我們定義勢能函式為$\varphi = \sum w(x)$

不妨設它依次訪問了$x_1, x_2 ..., x_p$

那麼，類似上文$splay$的複雜度分析，我們可以得到總的一次勢能變化量為$-w(x_1) +w(x_2) - w(x_2) + w(x_3) ... +w(x_p) + 1\leq w(x_p) + 1 = o(\log n)$

這也就是$splay$的$finger-search$的性質

初始勢能為$n \log n$，因此這一部分的複雜度為$o(n\log n + m \log n)$

訪問虛邊的複雜度

我們定義勢能函式$\phi$，為所有重虛邊（兒子的子樹大小大於等於自己的二分之一的虛邊）的數量

那麼，每次訪問至多走$\log$條輕虛邊，也就至多帶來$\log$條重虛邊，也就是以$o(\log)$的代價增加$\log$的勢能

而每次訪問一條重虛邊就需要付出$o(1)$的代價來減小$1$的勢能，並且訪問完重虛邊之後，不會有新的重虛邊產生

因此，最終的複雜度是初始勢能和勢能變化量（實際操作的代價和勢能變化量相同）的和，也就是$o(n + m \log n)$

因此，$lct$的複雜度為$o(n \log n + m \log n)$

Splay和LCT的複雜度分析

複雜度分析時間複雜度分析和空間複雜度分析

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